2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（文）试题（解析版）

2020届河南省焦作市高三第一次模拟数学（文）试题  一、单选题1．已知集合，，则 (    )A． B． C． D．【答案】A【解析】根据集合，求得集合，再根据集合的交运算求得结果即可.【详解】依题意得，解得，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知复数满足 (为虚数单位），则复数（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以 ，选B.3．人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI＝体重÷身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：BMI18.5以下18.5～23.924～29.930以上等级偏瘦正常超标重度超标 某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则此学生的体重可能是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意中给出的体重计算公式，即可对体重进行估算.【详解】题意得，体重＝BMI×身高，因为此人属于超标，所以，所以此学生的体重范围为，即，故选：C.【点睛】本题考查实际问题中，函数值域的求解，属基础题.4．若，满足约束条件，则的最小值为(    )A．9 B．6.5 C．4 D．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得.【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的，因为目标函数与直线平行，故当目标函数对应的直线经过点时，取得最小值3.故选：D.【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题.5．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据，即可求得答案.【详解】.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换求值，解题关键是掌握诱导公式基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.6．某种微生物的繁殖速度与生长环境中的营养物质浓度相关，在一定条件下可用回归模型进行拟合.在这个条件下，要使增加2个单位，则应该(    )A．使增加1个单位 B．使增加2个单位C．使增加到原来的2倍 D．使增加到原来的10倍【答案】D【解析】根据的增加量，根据题意，进行对数运算，即可求得结果.【详解】设的增加量为，的增加量为，故可得，解得，故要使得增加2个单位，应增加到原来的10倍.故选：D.【点睛】本题考查回归模拟，本质是考查对数的运算，属综合基础题.7．已知，且，则向量与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即可求得答案.【详解】由，得.，，向量与的夹角为.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积，考查运算求解能力以及函数与方程思想,属于基础题.8．某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，是线段上的点，则在原三棱柱中，的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】将展开图折成立体图形，然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，即可求得结果.【详解】将展开图折成立体图形，如下图所示：然后再把空间最短距离问题转化为平面两点间的距离最短问题，如下图所示.因为，，所以，即的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查几何体的还原，以及几何体上距离的最值问题，属综合性基础题.9．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列说法正确的个数为(    )①；②的一个周期为8；③图象的一个对称中心为；④图象的一条对称轴为.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据是偶函数，是奇函数，则可得函数周期，根据函数的周期性，即可对每个选项进行逐一分析，从而求得结果.【详解】因为是的对称轴，是的对称中心，所以是周期函数，且8为函数的一个周期，故②正确；，故①正确；因为每隔半个周期出现一个对称中心，所以是函数的对称中心，故③正确；，所以不是函数的图像的对称轴，故④错误.故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性和对称性，属函数性质综合基础题.10．将函数图象上所有的点按照向量平移得到函数的图象，若，则的最小值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】求出函数的对称轴，根据与最近的对称轴求得点关于该对称轴的对称点，即可计算求得结果.【详解】令得图像的对称轴为，其中距离最近的对称轴为.点关于直线对称的点为.要使最小，则.故选：C.【点睛】本题考查由正弦型函数的图像变换，求参数值的问题，属基础题.11．已知函数，若，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】画出函数的图象，设，则.由，，得，，.设函数，，结合函数图像，即可求得答案.【详解】函数的图象如下图所示.设，则.由，，得，，.设函数，，在上单调递增，，即，.故选：B.【点睛】本题考查函数的性质，解题关键是掌握函数的基础知识，查运算求解能力以及数形结合思想，属于中档题.12．如图所示，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若，且的面积为，则的离心率为(    )A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设，根据面积公式和向量数量积的运算，列出方程组，求得，即可得的等量关系，再转化为离心率即可.【详解】设，由题意可得，，所以，由，可得（负值舍去），又因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及向量的数量积运算，三角形的面积公式，正余弦的倍角公式，属综合基础题.  二、填空题13．已知数列是等差数列，且，则______.【答案】12【解析】根据等差中项公式，即可求得答案.【详解】是等差数列，根据等差中项公式.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属于基础题.14．曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】求出函数的导函数，解得，再用点斜式即可求得切线的方程.【详解】由，得.所以.所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及切线方程的求解，属基础题.15．已知圆：，直线：与圆交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数______.【答案】1或【解析】根据三角形的形状，以及半径长度，即可求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，即可求得参数.【详解】由题意得，圆的半径为2，因为为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属基础题.16．的内角，，的对边分别为，，，已知且，则______.【答案】（或）【解析】根据正弦定理将，化简为，结合已知，即可求得答案.【详解】由正弦定理可得，，是三角形内角，.又由得，，.故答案为：（或）.【点睛】本题考查根据正弦定理解三角形，解题关键是掌握掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线的普通方程为.在曲线的参数方程中，，所以曲线的普通方程为.（2）设点.点到直线的距离.当时，，所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题. 三、解答题18．某包子店每天早晨会提前做好一定量的包子，以保证当天及时供应，该包子店记录了60天包子的日需求量（单位：个，）.按，，，，分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，图中.（1）求包子日需求量平均数的估计值（每组以中点值作为代表）；（2）若包子店想保证至少的天数能够足量供应，则每天至少要做多少个包子？【答案】（1）775（2）880个【解析】（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，，即可求得答案；（2）设包子店每天至少做个包子，求得和，即可求得的范围，即可求得答案.【详解】（1）由图可知，各分组的频率分别为，，，，.包子日需求量平均数的估计值为.（2）设包子店每天至少做个包子.，，.由频率分布直方图可知，令，解得.每天至少要做880个包子.【点睛】本题考查了频率分布直方图以及用样本估计总体的思想，属于基础题.19．记数列的前项和为，已知，.（1）证明：数列是等比数列；（2）若关于的不等式的解集中有6个正整数，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】（1）由，得，即，即可求得答案；（2）由，得，结合函数，的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）由，得，即，数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知数列的通项公式为，.当时，，也符合该式，.由，得，结合函数，的图像可知，若原不等式的解集中有6个正整数，则，解得.实数的取值范围为.【点睛】本题考查数列的递推公式及数列的函数性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题.20．如图，已知四棱锥，平面平面，四边形是菱形，是等边三角形，，.（1）证明：；（2）设点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】（1）要证，只需证平面，即可求得答案；（2）连接.因为，，可得 .由（1）知，根据平面平面，可得 平面.结合已知，即可求得答案；【详解】（1）取的中点，连接，.，.连接.四边形是菱形，且，，.，平面，.又在菱形中，，.（2）连接.，，.由（1）知，平面平面，平面..由（1）知，，设到平面的距离为，由，解得.根据相似知.【点睛】本题考查空间线面的位置关系、等体积法求点到平面的距离，考查空间想象能力以及数形结合思想.21．设椭圆：的左顶点为，右焦点为，已知.（1）求椭圆的方程；（2）抛物线与直线交于，两点，直线与椭圆交于点（异于点），若直线与垂直，求的值.【答案】（1）；（2）2.【解析】（1）根据，结合，解方程组即可求得椭圆方程；（2）根据题意，先求出点的坐标，再写出直线方程，联立椭圆方程，求得点，再根据向量，即可得到的方程，求解即可得到结果.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则.又因为，所以.解得，.所以椭圆的方程为.（2）将代入得，不妨取，，由（1）可知，从而直线的方程为.联立方程组消去得.设，因为点异于点，由根与系数的关系得，所以，.所以，.因为，所以，解得.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线和椭圆相交时，韦达定理的应用，涉及抛物线的方程，属综合中档题.22．已知函数，其中.（1）若，求的单调区间；（2）设的最小值为，求的最大值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）最大值为.【解析】（1）若，则，定义域为..令，则在上单调递增，且，即可求得答案；（2），.令，则在上单调递增.，，由存在，使得，即，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）若，则，定义域为..令，则在上单调递增，且，在上，，即；在上，，即.的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），.令，则在上单调递增.，，存在，使得，即.在上，，即；在上，，即.在上单调递减，在上单调递增，，令，则.，，又，在上，，在上，.在上单调递增，在上单调递减.的最大值为，的最大值为.【点睛】本题考查导数与函数的单调性、利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想.23．已知，，为正数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用均值不等式即可求证；（2）利用，结合，即可证明.【详解】（1）∵，同理有，，∴.（2）∵，∴.同理有，.∴.【点睛】本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及的妙用，属综合性中档题.