2020届河南省开封市一模（12月）数学（文）试题（解析版）

2020届河南省开封市一模（12月）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据补集定义先求得,再根据交集运算即可求解.

【详解】

集合或

所以

因为

则

故选:D

【点睛】

本题考查了集合补集与交集的混合运算,属于基础题.

2．复数的实部小于虚部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将复数化简后求得实部与虚部,即可根据实部小于虚部求得实数的取值范围.

【详解】

根据复数的除法运算,则

所以实部为,虚部为

由实部小于虚部可知

解不等式可得

即实数的取值范围为

故选:A

【点睛】

本题考查了复数的概念,复数除法运算,属于基础题.

3．已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.

4．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.

【详解】

因为角的终边经过点

由三角函数定义可得

根据正切的二倍角

代入可得

故选:D

【点睛】

本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.

5．已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）

A．-15 B．-7 C．3 D．15

【答案】A

【解析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.

【详解】

因为奇函数的定义域关于原点中心对称

则,解得

因为奇函数当时,

则

故选:A

【点睛】

本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.

6．某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低分为，，，，五个等级，等级，等级，等级，，等级共.其中等级为不合格，原则上比例不超过.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示.若该校高二年级共有1000名学生，则估计该年级拿到级及以上级别的学生人数有（    ）

A．45人 B．660人 C．880人 D．900人

【答案】D

【解析】根据等级的人数和占比,可计算出样本容量.再根据扇形图可计算出、、等级一共的人数,即可估计该年级拿到级及以上级别的学生人数.

【详解】

由条形图和扇形统计图可知,在抽取的部分学生中等级共有人,占样本容量的

所以样本容量为

则样本中等级人数为人

由条形图可知样本中等级人数为人

所以在样本中级及以上级别的学生人数为人

则该年级拿到级及以上级别的学生人数为人

故选:D

【点睛】

本题考查了条形图与扇形图在统计中的应用,样本与总体的关系,属于基础题.

7．国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度约为（    ）

A．米 B．22米

C．30米 D．35米

【答案】C

【解析】由正弦与余弦的差角公式求得的值.设旗杆高为,根据观礼台的斜面距离和坡度可求得观礼台的水平长度和垂直高度.表示出的值,再在三角形中解三角形即可求得旗杆高度.

【详解】

由正弦与余弦的差角公式可知

根据题意,设旗杆高度为,将各个位置用点标出来如下图所示:

则,且

可得

则由

可得

则

因为

则满足即

解方程可求得

故选:C

【点睛】

本题考查了解三角形在实际问题中的应用,正弦与余弦差角公式的用法.建立合适的数学模型是解决此类问题的关键,属于基础题.

8．设函数在点处的切线经过点，则实数的值为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】C

【解析】函数过点,代入可求得.根据导数的几何意义,求得导数后将切点的横坐标带入为切线斜率,即可求得的值,进而求得的值.

【详解】

因为函数在点处的切线经过点

所以,代入可得

因为

所以经过点与点的斜率为

且

即,解得

所以

故选:C

【点睛】

本题考查了利用导数求函数切线方程的方法,利用两点间斜率公式表示出斜率,与导函数相等即可,属于基础题.

9．已知是斐波那契数列，则，（且），下图程序框图表示输出斐波那契数列的前项的算法，则（    ）

A．10 B．18

C．20 D．22

【答案】C

【解析】根据程序框图的结构,计算出前几项,结合归纳推理即可得解.

【详解】

第一次循环:

第二次循环:

第三次循环:

由以上循环可知,每循环一次,输出斐波那契数列的2项

所以当时,共输出数列的项

故选:C

【点睛】

本题考查了程序框图循环结构的特征,斐波那契数列的特征,归纳推理的应用,属于基础题.

10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，圆：与在第一象限的交点为，若的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．

C．2 D．

【答案】A

【解析】根据为圆:与在第一象限的交点,结合双曲线中的关系可判断为直角三角形.由双曲线中焦点三角形的面积公式可得的等量关系,即可求得离心率.

【详解】

根据题意画出图形如下图所示:

圆：,由双曲线中可知

圆的半径为,圆心为原点

因而为圆的直径

所以

根据双曲线中焦点三角形面积公式

由题意可得,即

由双曲线离心率

故选:A

【点睛】

本题考查了圆与双曲线的综合应用,双曲线焦点三角形的面积公式及离心率求法,属于基础题.

11．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若的对称中心为坐标原点，则关于函数有下述四个结论：

①的最小正周期为    ②若的最大值为2，则

③在有两个零点    ④在区间上单调

其中所有正确结论的标号是（    ）

A．①③④ B．①②④ C．②④ D．①③

【答案】A

【解析】根据辅助角公式化简,根据平移后的图像关于原点中心对称可求得解析式.根据正弦函数的图像与性质可依次判断四个选项是否正确.

【详解】

函数,由辅助角公式可得

将图像向右平移单位长度可得

因为的对称中心为坐标原点,由正弦函数图像与性质可知过

即,可得

则

对于①的最小正周期为,所以①正确;

对于②若的最大值为2,则,解得,所以②错误

对于③,令,当时,满足,.解方程可得或,所以③正确;

对于④, ,则其一个单调递增区间为,解得,当时满足在区间上单调,所以④正确.

综上可知,正确的为①③④

故选:A

【点睛】

本题考查了正弦函数的图像与性质的综合应用,辅助角公式的用法,三角函数图像平移变换,综合性较强,属于中档题.

12．已知正方体的棱长为1，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等,可得该平面的截面.由正方体的棱长及投影形状,即可求出正投影的面积.

【详解】

正方体的棱长为1,平面过正方体的一个顶点,且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,可得空间几何体及平面如下图所示:

该正方体在平面内的正投影如下图所示:

则即为该正方体在平面内的正投影面积,该投影是正六边形.

因为正方体的棱长为1,则

则由正六边形的性质可知

则

所以

则

故选:B

【点睛】

本题考查了空间中直线与平面的夹角,空间几何体在平面上的投影面积问题,对空间想象能力要求较高,属于难题.

二、填空题

13．已知向量，，若，则______.

【答案】1

【解析】根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.

【详解】

向量,

则,

则

因为

即,化简可得

解得

故答案为:

【点睛】

本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.

14．已知点，动点的坐标满足条件，则的最小值是______.

【答案】

【解析】根据不等式组,可得动点的可行域.结合点的位置,由几何关系即可求得的最小值.

【详解】

因为动点的坐标满足条件

则动点运动的可行域如下图所示:

由图可知,当与垂直时, 的值最小

故答案为:

【点睛】

本题考查了不等式表示的可行域,点到可行域距离最小值的求法,属于基础题.

15．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，点在大圆上从点出发逆时针匀速运动，点在小圆上从点出发顺时针匀速运动.图中的阴影是运动一秒钟后，，分别扫过的扇形.假设动点，运动了两秒钟，在，扫过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是______.

【答案】

【解析】根据动点运动的过程,可得2秒钟后重叠部分.分别求出总的面积和重叠部分面积,根据几何概型概率的求法即可求解.

【详解】

由题意可知,两秒钟后形成的图形如下图所示:

大圆半径为2,小圆半径为1.重叠部分的圆心角为

所以重叠部分的面积为

两部分总的面积为

则点落在公共区域内的概率为

故答案为:

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求法,扇形面积公式,属于基础题.

16．若数列满足，则称数列为“差半递增”数列.若数列为“差半递增”数列，且其通项与前项和满足，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.

【详解】

因为

所以当时,

两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列

当时,

所以

则

由“差半递增”数列的定义可知

化简可得

解不等式可得

即实数的取值范围为

故答案为:

【点睛】

本题考查了数列递推公式的简单应用,等比数列通项公式在新定义里的应用,属于中档题.

三、解答题

17．已知等差数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）记为的前项和，求数列的前项和.

【答案】(1) . (2)

【解析】（1）根据递推公式,带入求得首项.由递推可得,作差即可得等差数列的公差,即可得等差数列的通项公式

（2）先求得等差数列的前项和,可得的通项公式,根据裂项求和即可求得数列的前项和.

【详解】

（1）由已知为等差数列,记其公差为.

①当时,,

两式相减可得

解得

②当时,,所以.

则.

（2）

所以

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,等差数列的前n项和公式,裂项求和法的应用,属于基础题.

18．在平面直角坐标系中，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大1个单位长度.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若过点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程.

【答案】(1) (2) 或.

【解析】（1）由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线,根据题意可得准线方程,由准线方程可求得抛物线的方程.

（2）当斜率不存在时,带入检验是否成立；当斜率存在时,设出直线方程,联立抛物线,根据韦达定理可得.由向量数量积定义即可得关于的方程,解方程即可求得的值.

【详解】

（1）根据抛物线的定义,知动点的轨迹是以为焦点,以为准线的抛物线

所以动点的轨迹方程为：

（2）①当的斜率不存在时,可知,不符合条件

②当的斜率存在且不为0时,设：,

则,联立可得,

设,,则,.

因为向量,方向相反,所以

所以,即

所以直线的方程为或.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义及标准方程的求法,直线与抛物线相交时满足条件的直线方程求法,属于基础题.

19．底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）根据直线与平面垂直的关系,可得平面,即可证明.

（2）根据条件可证明平面,即点到平面的距离等于点到平面的距离.根据等体积可知,即可求得三棱锥的体积.

【详解】

（1）证明：连接,由可知四边形为平行四边形

所以.

由题意易知,

所以,,

因为

所以平面

又平面

所以

（2）设,

由已知可得平面平面

所以

同理可得,

所以四边形为平行四边形

所以为的中点,为的中点

所以

且,

由平面几何知识,得

所以

因为,平面,平面

所以平面

所以点到平面的距离等于点到平面的距离,为.

所以

【点睛】

本题考查了直线与平面的垂直证明,利用等体积法求三棱锥的体积.转换顶点时,注意利用线面平行的性质,属于中档题.

20．某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.

（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为001~090的成绩中用简单随机抽样确定的成绩编号为025，求样本中所有成绩编号之和；

（2）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25.

（i）用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差；

（ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率.

【答案】(1)4300；(2) （i）平均数为5.2，方差为1.36.（ii）

【解析】（1）根据系统抽样的特征,各个编号成等差数列,根据等差数列的首项与公差即可求得前10项的和.

（2）根据分层抽样特征可知抽出的样本中A题目的成绩有6个,B题目的成绩有4个.求出10名学生的总成绩,即可得10名学生的平均成绩.根据所给A题目和B题目的平均数和方差,将方差公式变形,即可求得10名学生的成绩方差.从选取的成绩可知,A题目中超过平均成绩的有3人,B题目超过平均值的有2人,根据古典概型概率求法,用列举法把所有情况列举出来,即可得解.

【详解】

（1）由题易知,若按照系统抽样的方法,抽出的编号可以组成以25为首项,以90为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前10项之和,

所以.

（2）（i）由题易知,若按照分层抽样的方法,抽出的样本中A题目的成绩有6个,按分值降序分别记为,,…,；B题目的成绩有4个,按分值降序分别记为,,,.

记样本的平均数为,样本的方差为.由题意可知,

,

,

所以,估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2,方差为1.36.

（ii）本选做题阅卷分值都为整数,且选取的样本中,A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5,易知样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个,分别为,,,B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个,分别为,.

从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种10方法,为：

,,,,,,,,,,

其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种,为：

,,,,,,

记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据,取到的两个成绩来自不同题目”为事件,

所以.

【点睛】

本题考查了简单随机抽样中的系统抽样与分层抽样的方法与特征,平均数及方差的求法,古典概型概率的求法.方差公式的应用与变形是解决问题的关键,属于中档题.

21．已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：，；

（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）将带入解析式,求得导函数,并判断当时函数的单调性,根据函数单调性求得函数在时的最小值,即可证明.

（2）先求得导函数,讨论在的不同取值范围内函数的单调情况,根据函数的单调情况判断其极值的个数,即可求得实数的取值范围.

【详解】

（1）证明:当时,,则,

当时,,则,又因为,

所以当时,,仅时,,

所以在上是单调递减,所以,即.

（2）,因为,所以,,

①当时,恒成立,所以在上单调递增,没有极值点.

②当时,在区间上单调递增,

因为,.

当时,时,

所以在上单调递减,没有极值点.

当时,,所以存在,使

当时,,时,

所以在处取得极小值,为极小值点.

综上可知,若函数在上存在极值点,则实数.

【点睛】

本题考查了利用导数判断函数的单调性,并根据单调性求得最值来证明不等式成立.对参数进行分类讨论,讨论在不同范围内函数的单调情况及最值情况.是高考的重点和难点,属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）设是曲线上一点，此时参数，将射线绕原点逆时针旋转交曲线于点，记曲线的上顶点为点，求的面积.

【答案】(1) ：，：.(2)

【解析】（1）根据参数方程与直角坐标方程的转化,先将的参数方程转化为直角坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,再将直角坐标方程转化为极坐标方程.根据极坐标与直角坐标方程的转化,将的极坐标方程转化为直角坐标方程.

（2）根据参数求得的极坐标.根据变换过程可得点的极坐标,根据三角形面积为即可求得的面积.

【详解】

（1）由已知可得：

则极坐标方程为

：.

（2）设点的横坐标为,则由已知可得

且直角坐标,极坐标,其中,

极坐标,则有

所以.

【点睛】

本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的转化,利用极坐标方程求三角形的面积,属于中档题.

23．已知，，为一个三角形的三边长.证明：

（1）；

（2）.

【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；

【解析】（1）根据三项基本不等式,可直接证明不等式成立.

（2）根据三角形三条边的关系可得,同理证明,后,将不等式左右两边分别相加即可证明.

【详解】

（1）证明:由三项基本不等式可知

不等式得证.

（2）证明:由于,,为一个三角形的三边长,则有：

,即,

所以,

同理,,

相加得：,左右两边同加得：

所以

不等式得证.

【点睛】

本题考查了不等式的简单证明,基本不等式在证明不等式中的用法,属于中档题.