2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研数学（理）试题（解析版）

2020届河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市、漯河市、周口市、三门峡市）高三第一次模拟调研数学（理）试题

一、单选题

1．若复数满足，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简得到，，再计算复数模得到答案.

【详解】

，故，

故，.

故选：.

【点睛】

本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.

2．集合的真子集的个数为(    )

A．7 B．8 C．31 D．32

【答案】A

【解析】计算，再计算真子集个数得到答案.

【详解】

，故真子集个数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.

3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】

金、木、水、火、土任取两类，共有：

金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，

其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，

所以2类元素相生的概率为，故选A.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.

4．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则(    )

A．2020 B．4038 C．4039 D．4040

【答案】D

【解析】计算，代入等式，根据化简得到答案.

【详解】

，，，故，

，

故.

故选：.

【点睛】

本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：

根据该折线图可知，下列说法错误的是（   ）

A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高

B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低

C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益

D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元

【答案】D

【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.

【详解】

用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：

所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.

【点睛】

本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.

6．设函数，则函数的图像可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.

【详解】

定义域为：

，函数为偶函数，排除

，排除

故选

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

7．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为(    )

A．60 B．80 C．90 D．120

【答案】B

【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即，故表示直线与截距的倍，

根据图像知：当时，的最大值为，故.

展开式的通项为：，

取得到项的系数为：.

故选：.

【点睛】

本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.

【详解】

如图所示：设球半径为，则，解得.

故求体积为：，圆锥的体积：，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

9．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为(    )

A． B．40 C．16 D．

【答案】D

【解析】如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.

【详解】

如图所示：过分别作于，于.

，则，

根据得到：，即，

根据得到：，即，

解得，，故.

故选：.

【点睛】

本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

10．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为(    )

A． B．

C．（） D．（）

【答案】B

【解析】如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接，根据垂直平分线知，

故，故轨迹为双曲线，

，，，故，故轨迹方程为.

故选：.

【点睛】

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

11．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为(    )

A．2020 B．20l9 C．2018 D．2017

【答案】B

【解析】根据题意计算，，，计算，，，得到答案.

【详解】

是等差数列的前项和，若，

故，，，，故，

当时，，，，

，

当时，，故前项和最大.

故选：.

【点睛】

本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

12．方程在区间内的所有解之和等于(    )

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【解析】画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.

【详解】

，验证知不成立，故，

画出函数和的图像，

易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，

故所有解之和等于.

故选：.

【点睛】

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.

二、填空题

13．已知向量，，若，则________.

【答案】10

【解析】根据垂直得到，代入计算得到答案.

【详解】

，则，解得，

故，故.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.

14．设函数，则满足的的取值范围为________.

【答案】

【解析】当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.

【详解】

，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，

需满足，且，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）.

【答案】135

【解析】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.

【详解】

根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择.

再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有种选择，

故不同的坐法有.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】【详解】

由知x＞0，故.

令，则.

当时，；当时，.

所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.

故，即.

三、解答题

17．如图中，为的中点，，，.

（1）求边的长；

（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.

【答案】（1）10；（2）.

【解析】（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．

【详解】

（1）因为在边上，所以，

在和中由余弦定理，得，

因为，，，，

所以，所以，.

所以边的长为10.

（2）由（1）知为直角三角形，所以，.

因为是的角平分线，

所以.

所以，所以.

即的面积为.

【点睛】

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

18．在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明，得到平面，得到证明.

（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.

【详解】

（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，

又因为是的中点，所以，又因为，，所以，

又，，，所以，

又，，所以平面，所以，

又因为是菱形，，所以，又，

所以平面，所以.

（2）由题意结合菱形的性质易知，，，

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的一个法向量为，则：，

据此可得平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，则：，

据此可得平面的一个法向量为，

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【点睛】

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19．设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.

（2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到

，故，得到答案.

【详解】

（1），所以，，化简得，

所以，，所以方程为；

（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，

所以由，得，

所以，

由，得，代入，

化简得：，

由于，所以，同理可得，

所以，所以当时，最小为

【点睛】

本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

20．已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.

（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.

【详解】

（1）由题可知有两个不相等的实根，

即：有两个不相等实根，令，

，，

，；，，

故在上单增，在上单减，∴.

又，时，；时，，

∴，即.

（2）由（1）知，，是方程的两根，

∴，则

因为在单减，∴，又，∴

即，两边取对数，并整理得：

对恒成立，

设，，

，

当时，对恒成立，

∴在上单增，故恒成立，符合题意；

当时，，时，

∴在上单减，，不符合题意.

综上，.

【点睛】

本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；

（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

【答案】（1）分布列见解析；（2）406.

【解析】（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.

（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.

【详解】

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.

依题意可知，，所以的分布列为：

（2）方案②中.

结合（1）知每个人的平均化验次数为：

时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，

时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，

时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，

故在这三种分组情况下，相比方案①，

当时化验次数最多可以平均减少次.

【点睛】

本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.

（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .

【详解】

（1）由消得，即，

是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.

（2）由得，∴，

由得∴，∴.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．

（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．

【详解】

当时，，

当时，由得，解得；

当时，无解；

当时，由得，解得，

所以的解集为

（2）的解集包含等价于在上恒成立，

当时，等价于恒成立，

而，∴，

故满足条件的的取值范围是

【点睛】

本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．