2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，

则

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先化简求出，即可求得答案.

【详解】

因为，

所以

所以

故选：A

【点睛】

此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.

3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.

【详解】

因为终边上有一点，所以，

故选：B

【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（    ）．

A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

【答案】B

【解析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

5．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.

【详解】

因为，所以.

故选B

【点睛】

本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：

第二次循环：

第三次循环：

第四次循环：

第五次循环：

第六次循环：

第七次循环：

第八次循环：

所以框图中①处填时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

7．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.

【详解】

A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；

B：定义域关于原点对称，且

满足奇函数，又，所以在上，正确；

C：定义域关于原点对称，且

满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；

D：定义域关于原点对称，且，

满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；

故选：B

【点睛】

此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.

8．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（    ）．

A． B． C．4 D．9

【答案】B

【解析】根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.

【详解】

根据题意，，则

在中，又,

则

则

则

则

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

9．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.

【详解】

根据题意画出图形:

设M,N,P分别为和的中点，

则的夹角为MN和NP夹角或其补角

可知，.

作BC中点Q，则为直角三角形；

中，由余弦定理得

，

在中，

在中，由余弦定理得

所以

故选：C

【点睛】

此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.

10．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.

【详解】

由题意可知直线的方程为,不妨设.

则，且

将代入双曲线方程中，得到

设

则

由，可得，故

则，解得

则

所以双曲线离心率

故选：A

【点睛】

此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目.

11．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（    ）．

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.

【详解】

构造函数，

则

由题可知，所以在时为增函数；

由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；

又，即

即

又为开口向上的偶函数

所以，解得或

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

12．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.

【详解】

画出图形：

若为的外心，则，

平面,可得,即，①正确;

若为等边三角形，，又

可得平面，即,由可得

，矛盾，②错误;

若，设与平面所成角为

可得，

设到平面的距离为

由可得

即有，当且仅当取等号.

可得的最大值为，

即的范围为，③正确；

取中点，的中点，连接

由中位线定理可得平面平面

可得在线段上，而，可得④正确；

所以正确的是：①③④

故选：C

【点睛】

此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.

二、填空题

13．已知，则展开式的系数为__________．

【答案】

【解析】先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.

【详解】

因为

所以

的通项公式为

当时，

当时，

故展开式中的系数为

故答案为：

【点睛】

此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.

14．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）

【答案】23

【解析】由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝23，得解．

【详解】

①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，

②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，

③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，

综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23，

故答案为：23．

【点睛】

本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．

15．已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.

【详解】

解：且，即解得，即

因为在区间上恒成立，

解得即

故答案为：

【点睛】

本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.

16．在中，角的平分线交于，，，则面积的最大值为__________．

【答案】15

【解析】由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出面积的最大值.

【详解】

画出图形：

因为，，由角平分线定理得,

设，则

由余弦定理得：

即

当且仅当，即时取等号

所以面积的最大值为15

故答案为：15

【点睛】

此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目.

三、解答题

17．已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列前n项和．

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d=== 3．∴an=a1+（n﹣1）d=3n

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则

q3===8，∴q=2，

∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1， ∴bn=3n+2n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n﹣1， ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），

数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和为；

【考点】1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．

18．如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．

（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；

（2）若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】(1)根据中位线证明平面平面，即可证明MH∥平面；（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：连接，

∵，，分别为，，的中点，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

同理，平面，

∵平面，平面，，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面．

（2）连接，在和中，由余弦定理可得，

，

由与互补，，，可解得，

于是，

∴，，

∵，直线与直线所成角为，

∴，又，

∴，即，

∴平面，

∴平面平面，

∵为中点，，

∴平面，

如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，．

设平面的法向量为，

∴，即．

令，则，，可得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

∴，

∴二面角的余弦值为．

【点睛】

此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.

19．某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．

乙生产线样本的频数分布表

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？

附：，．

【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．

【解析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.

【详解】

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：

．

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：．

（2）列联表：

的观测值，

∵，，

∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．

由（1）知甲生产线的合格率为0.9，

乙生产线的合格率为，

∵，

∴保留乙生产线较好．

【点睛】

此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.

20．设函数.

（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；

（2）若，，，求证：当时，．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.

【详解】

（1），时，，

，

∵在上单调递减．

∴，．

令，

，

时，；时，，

∴在上为减函数，在上为增函数．

∴，∴．

∴的取值范围为．

（2）若，，时，，

，

令，显然在上为增函数．

又，，∴有唯一零点．

且，时，，；

时，，，

∴在上为增函数，在上为减函数．

∴．

又，∴，，．

∴

．

，．

∴当时，．

【点睛】

此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.

21．已知点、分别在轴、轴上运动，，．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.

【详解】

（1）设，，则，

设，由得．

又由于，

化简得的轨迹的方程为．

（2）设直线的方程为，

与的方程联立，消去得，

，设，，

则，，

由已知，，则

，

故直线．

，

令，则

，

由于，，

．

所以，的取值范围为．

【点睛】

此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.

22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．

（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．

【答案】（1）．（2）

【解析】(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解，再求点到直线的距离即可算出三角形面积.

【详解】

解：（1）曲线，即．

∴．曲线的极坐标方程为．

直线的极坐标方程为，即，

∴直线的直角坐标方程为．

（2）设，，

∴，解得．

又，∴（舍去）．

∴．

点到直线的距离为，

∴的面积为．

【点睛】

此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.

23．已知函数．

（1）若不等式有解，求实数的取值范围；

（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.

【详解】

解：（1）设，

∴在上单调递减，在上单调递增．

故．

∵有解，∴．

即的取值范围为．

（2），当且仅当时等号成立．

∴，即．

∵

．

当且仅当，，时等号成立．

∴，即成立．

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目.