2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学（文）试题（解析版）

2020届河南省洛阳市高三第二次统一考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.

【详解】

根据题意，

则

故选：D

【点睛】

此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先化简求出，即可求得答案.

【详解】

因为，

所以

所以

故选：A

【点睛】

此题考查复数的基本运算，注意计算的准确度，属于简单题目.

3．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据角终边上的点坐标，求得，代入二倍角公式即可求得的值.

【详解】

因为终边上有一点，所以，

故选：B

【点睛】

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（    ）．

A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

【答案】B

【解析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

5．记等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．64 B．48 C．36 D．24

【答案】B

【解析】由等差数列求和公式得，求得，再利用等差数列性质即可求解

【详解】

由等差数列性质可知，，解得，故.

故选B

【点睛】

本题考查等差数列的性质及求和公式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.，是基础题

6．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：

第二次循环：

第三次循环：

第四次循环：

第五次循环：

第六次循环：

第七次循环：

第八次循环：

所以框图中①处填时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

7．已知，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将化成指数一样，将化成底数一样，即可得答案；

【详解】

，

又，，；

，

又，，，即；

.

故选：A.

【点睛】

本题考查指数幂与对数的大小比较，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

8．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据抛物线定义得，即可解得结果.

【详解】

因为，所以.

故选B

【点睛】

本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

9．函数在处的切线与直线平行，则实数（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】利用导数的几何意义可得，解方程即可得到答案.

【详解】

，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

10．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（    ）．

A． B． C．4 D．9

【答案】B

【解析】根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.

【详解】

根据题意，，则

在中，又,

则

则

则

则

故选：B

【点睛】

此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.

11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设M,N,P分别为和的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理，结合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.

【详解】

根据题意画出图形:

设M,N,P分别为和的中点，

则的夹角为MN和NP夹角或其补角

可知，.

作BC中点Q，则为直角三角形；

中，由余弦定理得

，

在中，

在中，由余弦定理得

所以

故选：C

【点睛】

此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目.

12．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（    ）．

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.

【详解】

构造函数，

则

由题可知，所以在时为增函数；

由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；

又，即

即

又为开口向上的偶函数

所以，解得或

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

二、填空题

13．已知函数，则__________．

【答案】2

【解析】先计算的值，再计算的值.

【详解】

，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据分段函数的解析式求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.

14．数列的前项和为，且，成立，则的最小值为__________．

【答案】2020

【解析】根据递推关系可求得数列的通项公式，在解不等式，即可得答案；

【详解】

，

当时，，

两式相减得：，，

，

的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据数列的递推关系求通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

15．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________．

【答案】

【解析】根据圆的普通方程得到圆心和半径，再求圆心关于直线的对称点，即可得答案；

【详解】

，圆心为，半径为，

设圆心关于直线的对称点为，

对称圆的标准方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查圆的标准方程、点关于直线对称，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.

16．已知双曲线的左右焦点分别为，，点为左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，点在直线上的射影为，且当取最小值5时，的最大值为__________．

【答案】

【解析】根据双曲线的定义、焦点到渐近线的距离为，可得方程，再利用基本不等式求得的范围，进而求得的最大值.

【详解】

点为左支上任意一点，，

最小值5，

焦点到渐近线的距离为，取最小值，

.

在直角三角形中，利用等面积法得：，

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系、三角形面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

三、解答题

17．已知函数f(x)=4sincos x+.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)若函数g(x)=f(x)-m区间在上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.

【答案】(1)T=π,递增区间为(k∈Z).(2) m∈[,2),-.

【解析】(1)先根据两角差正弦公式展开，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最小正周期和单调递增区间; (2)根据正弦函数图像确定有两解的m条件，并根据对称性确定x1+x2值，即得tan(x1+x2)的值.

【详解】

(1)f(x)=4sincos x+

=4cos x+=2sin xcos x-2cos2x+=sin 2x-cos 2x

=2sin.

∴函数f(x)的周期为T=π.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+,

得kπ-≤x≤kπ+π(k∈Z).

∴f(x)的递增区间为(k∈Z).

(2)∵方程g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin上的图象,由图象可知,当且仅当m∈[,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,

且x1+x2=2×,故tan(x1+x2)=tan =-tan =-.

【点睛】

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．

18．如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．

（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；

（2）若直线与直线所成角为，求三棱锥的表面积．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先证明面面平行，进而证明线面平行；

（2）分别求出各个面的面积再相加，即可得答案；

【详解】

（1）证明：连接，

∵，，分别为，，的中点，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

同理，平面，

∵平面，平面，，

∴平面平面，

∵平面，

∴平面．

（2）在等腰梯形中，作于，于，

易得，又，

∴，．

∴．

∵与互补，∴．

在中，．

∴．∴．

∵，为锐角，

∴为直线与所成的角，．

又，∴为等腰直角三角形．∴．

∴．

∴．

．

．

∴，

∴三棱锥的表面积为．

【点睛】

本题考查线面平行判定定理、面面平行性质定理、三棱锥的表面积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量.

19．已知点、分别在轴、轴上，，．

（1）求的轨迹的方程；

（2）过点作两条互相垂直的直线、，与曲线分别交于、（不同于点）两点，求证：直线过定点．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）设，，利用向量的坐标关系和相关点带入法，即可得答案；

（2）依题意，直线斜率存在，可设直线的方程为与的方程联立，消去得，设，，写出直线的方程为，再令，可得，从而证明直线过定点.

【详解】

（1）设，，则．

设，由得．

故，

化简得的轨迹的方程为．

（2）依题意，直线斜率存在，可设直线的方程为，

与的方程联立，消去得．

设，则，．

设，上式中用替代，则，．

直线的方程为．

令，得

．

故直线恒过点．

【点睛】

本题考查向量与椭圆问题的交汇、椭圆中的直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

20．某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．

乙生产线样本的频数分布表

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；

（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？

附：，．

【答案】（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．

【解析】(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.

【详解】

（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：

．

设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．

那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：．

（2）列联表：

的观测值，

∵，，

∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．

由（1）知甲生产线的合格率为0.9，

乙生产线的合格率为，

∵，

∴保留乙生产线较好．

【点睛】

此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.

21．已知函数，．

（1）若在上单调递增，求的取值范围；

（2）求证：当时，．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）对函数求导可得对恒成立，利用参变分离可求得的取值范围；

（2）设，，，显然在上为增函数，再利用隐零点法，有唯一零点设为，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式成立.

【详解】

（1），．

∵在上单调递增．

∴对恒成立．

∴，∴．

∴的取值范围为．

（2）设，，

，显然在上为增函数．

又，，∴有唯一零点设为．

且，时，；时，，

∴在上为减函数，在上为增函数．

∴．

又，∴，，，

∴．

∴，即当时，．

【点睛】

本题考查已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意隐零点法的应用.

22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，点．

（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．

【答案】（1）．（2）

【解析】(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解，再求点到直线的距离即可算出三角形面积.

【详解】

解：（1）曲线，即．

∴．曲线的极坐标方程为．

直线的极坐标方程为，即，

∴直线的直角坐标方程为．

（2）设，，

∴，解得．

又，∴（舍去）．

∴．

点到直线的距离为，

∴的面积为．

【点睛】

此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较易题目.

23．已知函数．

（1）若不等式有解，求实数的取值范围；

（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.

【详解】

解：（1）设，

∴在上单调递减，在上单调递增．

故．

∵有解，∴．

即的取值范围为．

（2），当且仅当时等号成立．

∴，即．

∵

．

当且仅当，，时等号成立．

∴，即成立．

【点睛】

此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目.