2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题（解析版）

2020届河南省名校（南阳一中、信阳、漯河、平顶山一中四校）高三3月线上联合考试数学（文）试题  一、单选题1．设，则的共轭复数在复平面内的对应点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可.【详解】，.故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算的法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面的位置特征，考查了数学运算能力.2．设集合，，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据对数函数的单调性和定义域，结合集合并集的定义进行求解即可.【详解】由题意得，，故.故选：A【点睛】本题考查了对数不等式的解法，考查了集合并集的定义，考查了数学运算能力.3．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据对数函数、指数函数的单调性和三角函数正负性进行求解即可.【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，根据余弦函数的性质可得，所以.故选：C【点睛】本题考查了对数式、指数式、三角式的大小判断，考查了指数函数、对数函数的单调性和三角函数的正负性，属于基础题.4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．故选：．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．5．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据图象所反应的性质，结合四个选项的函数求导数判断单调性，逐一判断即可.【详解】对于A：函数是奇函数，不满足题意；对于B：当时，，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，所以，即，单调递增，不满足题意；对于C：当时，，当时，，函数单调递增，不满足题意；对于D：函数为偶函数，且当时， ，令，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此的最小值为：，当时，，当时，，因此函数有两个零点，设为，显然当时，，即，函数单调递增，当时，，即，函数单调递减，当时，，即，函数单调递增，满足题意.故选：D【点睛】本题考查了已知函数的图象判断函数的解析式，考查了偶函数的性质，考查了导数的应用.6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600，从中抽取60个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第5个样本编号是（    ）A．522 B．324 C．535 D．578【答案】A【解析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可.【详解】第6行第6列开始的数为808（不合），436，789（不合），535，577，348，994（不合），837（不合），522，则满足条件的5个样本编号为436，535，577，348，522，则第5个编号为522.故选:A【点睛】本题考查了随机数表的应用，属于基础题.7．已知，则的近似值为（    ）A．1.773 B．1.782 C．1.796 D．1.815【答案】B【解析】运用诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，考查了辅助公式，考查了数学运算能力.8．已知向量，，，则当取最小值时，实数（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】根据平面向量的加法的几何意义、共线的性质结合平面向量的坐标表示公式求出的坐标，再利用平面向量模的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】由，得，，则当时，有最小值.故选：A【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义，考查了平面向量的模的坐标表示公式、加减法、数乘的坐标表示公式，考查了数学运算能力.9．在如图所示的程序框图中，执行所给的程序后，则输出的和的关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】先判断再进入循环体，直至退出循环体，输出，的值，进行判断即可.【详解】根据题中所给的程序框图，在执行完后，可知输出的，的值分别是，，由四个选项可以发现.故选：B【点睛】本题考查了程序框图循环结构的输出问题，考查了整数的整除性，属于基础题.10．抛物线（）的焦点为，半径为3的圆过点、，且与抛物线的准线相切，则的值为（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】设出圆的标准方程，求出抛物线的焦点坐标，根据圆的切线的性质进行求解即可.【详解】依题意，设圆的方程为：，抛物线（）的焦点，已知得，解得.故选：C【点睛】本题考查了圆的切线的性质，考查了待定系数法，考查了数学运算能力.11．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，则满足条件的实数的最小值与最大值的和是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】结合二倍角的正弦公式可以化简函数的解析式，根据平移变换的解析式变化的规律可以求出函数的解析式，最后根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则，，可得，，即函数的单调递增区间为，，因为在区间上单调递增，则即则，，令，得，满足，的最大值和最小值的和为.故选：D【点睛】本题考查二倍角的正弦公式的应用，考查了正弦型函数的单调性和图象平移的变换特征，考查了数学运算能力.12．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由题意知，，解得，，直线与平行，则，得，，化简得，即，解得.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.  二、填空题13．已知函数的一个极值点为1，则曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】对函数进行求导，利用函数的极值的定义可以求出的值，最后根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】，由，有，又切点为，,则切线方程为，.故答案为：【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力.14．已知等比数列的前项和为，且，，则______.【答案】7【解析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则，，两式相除可得，解将，，.故答案为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，考查了数学运算能力.15．函数（）的最小值为______.【答案】0【解析】根据余弦的二倍角的公式，应用换元法，根据二次函数的单调性进行求解即可.【详解】，令，，，当时，取最小值为0.故的最小值为0.故答案为：0【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，考查了二次函数的单调性，考查了换元法，考查了数学运算能力.16．将一块正方形纸片先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图2放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为______.【答案】6【解析】正三角形的边长为，根据四棱锥的体积公式，可以求出正三角形的边长，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，根据折叠中的不变性进行求解即可.【详解】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为，其高为，即四棱锥的高为，则，，设正方形纸片的边长为，又四棱锥的斜高为，由已知折叠过程可得，，则，.故答案为：6.【点睛】本题考查了四棱锥的体积公式，考查了图形折叠的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 三、解答题17．已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据当时，可以求出数列的通项公式，再验证当时，首项是否适合；再根据，结合对数与指数互化公式进行求解即可；（2）化简数列的通项公式，利用分组求和的方法，结合等比数列前项和、裂项相消法进行求解即可.【详解】（1）由，当时，，时，对上式也成立，∴；又，，.（2），.【点睛】本题考查了已知数列前项和求通项公式，考查了分组求和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.18．某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：试销单价（百元）123456产品销量（件）9186787370 附：参考公式：，，参考数据：，，.（1）求的值；（2）已知变量，具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）；（3）用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】（1）根据平均数的定义，结合题中所给的数据进行求解即可；（2）利用平均数的定义，可以求出的值，再利用已知所给的数据进行求解即可；（3）根据已知，结合（2）所求的线性回归方程可以求出满足已知的有效数据，最后利用列举法，根据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】（1）由，得，解得.（2）∵，而，，，∴，所求的线性回归方程为：；或者，所求的线性回归方程为：（3）若回归方程为：时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.满足条件的“有效数据”有：，，，共4个，记，，，，，，从6组销售数据中任取2组，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件有：，，，，，，共6种，所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为.若回归方程为：时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.满足条件的“有效数据”有：，共1个，记，，，，，，从6 抽取的2组销售数据都是“有效数据”的事件不存在所以抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率为0.【点睛】本题考查了平均数的定义，考查了线性回归方程的求法，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成的角为，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据已知可以证明出为平行四边形，利用平行四边形的性质，结合余弦定理，勾股定理的逆定理，根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）设为中点，连接，，则，由（1）中的结论可以证明平面平面，从而有平面，为直线与平面所成的角，利用锐角的三角函数值定义进行求解即可.【详解】（1）由已知，，且，则为平行四边形，，又，则，由知，则为正三角形，在中，，，由余弦定理知，，有，，又，，则平面，而平面，则平面平面.（2）设为中点，连接，，则，因为平面，平面，则平面平面，则平面，为直线与平面所成的角，又直线与平面所成的角为，则，又，，所以在中，，即直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了求线面角的正切值，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知椭圆（）的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆的下顶点，交椭圆于另一点、的面积.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，问：直线是否过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）直线过定点【解析】（1）根据椭圆离心率的公式和椭圆中的关系，可以判断出的形状，最后结合椭圆的定义和三角形的面积公式进行求解即可；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数关系，三点共线进行求解即可.【详解】（1）由椭圆的离心率，则，，，∴是等腰直角三角形，又，在中，，即.解得，，，∴的面积为，，，∴椭圆方程为.（2）设，，则，设直线与轴交于点，直线的方程为（），由有，，，，，由、、三点共线，，即，将，代入整理得，即，从而，即，解得，此时满足.则直线的方程为，故直线过定点.（其他解法正确同样给分）【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆中直线过定点问题，考查了数学运算能力.21．已知函数.（1）证明：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值和的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）的最大值为，的最小值为1【解析】（1）当时，对函数进行求导，利用导数可以求出函数的最小值，利用奇偶性再进行判断即可；（2）化简，不等式可以转化为：，，令，求导，根据的不同取值，判断出函数的单调性，最后分类讨论进行求解即可.【详解】（1）当时，，，当时，，则，当时，，则，则当时，，在上为增函数，，又函数为偶函数，则对任意，成立，（2），当时，，即为，，即为，令，则，当时，在上，，在上为增函数，；当时，在上，，在上为减函数，；当时，存在唯一的，使得，与在区间上的情况如下：+0－增极大值减   在区间上是增函数，，进一步，当时，当且仅当，可得.综上所述，当且仅当时，在上恒成立；当且仅当时，在上恒成立，所以的最大值为，的最小值为1.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.22．在直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线与轴正半轴交于点，与曲线交于，两点，且，，成等比数列，求直线的极坐标方程.【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用余弦的二倍角公式，结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可；（2）写出直线的参数方程，求出的表达式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的意义，结合等比数列的性质进行求解即可.【详解】（1）方程可化为，将代入上式，得曲线的直角坐标方程.（2）由直线的方程为，知直线过点，记直线的倾斜角为，，设直线的参数方程为（为参数），令，得点对应的参数值为，即，把代入，得，整理，得，则有.设，对应的参数值分别为，，则，，因为，，成等比数列，则，所以，所以或，解得或，的普通方程为或，故的极坐标方程为或.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了利用参数的意义解决线段有关长度问题，考查了数学运算能力.23．已知函数.（1）求函数的值域；（2）设函数的最小值为，若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）用绝对值的性质化简函数的解析式变成分段函数解析式的形式，然后分类讨论进行求解即可；（2）由（1）可以求出的值，然后利用重要不等式、基本不等式进行证明即可.【详解】当时，；当时，；当时，.故的值域为.（2）由（1）知函数的最小值，则，，当且仅当时取等号.或：，当且仅当时取等号.【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最值问题，考查了利用重要不等式和基本不等式证明不等式，考查了数学运算能力和代数式恒等变形能力.