2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省名校联盟高三尖子生第七次调研考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先化简集合，再求解.

【详解】

因为

，

又，所以.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义域，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

2．复平面内的两点，对应的复数分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先写出，，结合复数的乘法运算可求.

【详解】

依题意，，所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

3．某自媒体为了了解公众网上购物的情况，收集并整理了2018年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图：

根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A．全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量

B．全年各月甲平台点击量的中位数是28

C．全年各月乙平台点击量的极差为38

D．8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多

【答案】C

【解析】结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果.

【详解】

计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为301、341，故选项A错误；全年各月甲平台点击量的中位数是，故选项B错误；全年各月乙平台点击量的极差为，故选项C正确；7月份甲、乙两个平台的点击量相差为32，8月份相差30，故选项D错误.故选：C.

【点睛】

本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数据处理的核心素养.

4．已知等比数列的首项为2，前3项和，则其公比等于（    ）

A．1 B．-2 C．2 D．1或-2

【答案】D

【解析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比.

【详解】

由题意知，∴，解得或.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养.

5．与双曲线：有相同的渐近线，且过点的双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设出双曲线的方程，利用所过点求出双曲线的方程，然后求解离心率.

【详解】

设双曲线的方程为，将点代入，得，解得，所以双曲线的方程为，则离心率.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率，利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

6．灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某庭院挂着一盏表面积为平方尺西瓜灯（看成球），灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底面半径为2寸高为4寸的圆锥，现向该灯笼内任取一点，则该点取自灯焰内的概率为（注：1尺＝10寸）（    ）

A．0.004 B．0.012 C．0.024 D．0.036

【答案】A

【解析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果.

【详解】

设该灯笼的半径为，则，解得，所以该灯笼的体积立方尺立方寸，该灯笼内的灯焰的体积立方寸，所以该点取自灯焰内的概率为，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查几何概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.

7．过原点的直线与椭圆：交于，两点，为椭圆的左焦点，若的最大值与最小值分别为，，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【解析】设出点，，表示出，利用二次函数知识求解最值.

【详解】

依题意，可设，，又，则，，所以，

因为，所以.

因为，所以的最大值与最小值分别为，，所以.故选：C.

【点睛】

本题主要考查椭圆中的最值问题，综合了向量数量积的运算，表示出目标式，结合目标式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养.

8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数之和为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】B

【解析】先求含有两个数字0，两个数字2的四位数，再求两个数字1，两个数字2的四位数，可得答案.

【详解】

第一类，含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数为；

第二类，含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为，由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题.

9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（    ）

A． B．-2 C．0 D．2

【答案】B

【解析】结合程序框图，明确该程序是求数列的前2019项的和，结合数列的周期性可求和.

【详解】

设，该程序是求数列的前2019项的和，

因为是以6为周期的数列，且，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查程序框图的识别，综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

10．函数的部分图象如图所示，且，，则函数的一个单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】结合图象可得函数的周期，进而可得，结合点的坐标可得，然后可求单调递减区间.

【详解】

由图知，周期满足，所以，

又，所以，则，

因为，所以，

即，所以，所以.

因为，所以由，得，取得.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式，同时求解单调区间，明确各个参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养.

11．已知数列满足，，则数列的前10项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先对已知条件变形可得，进而可得，利用裂项相消法可求.

【详解】

因为，所以，

所以数列是首项为3、公差为4的等差数列，所以，所以，

所以，

所以，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

12．函数满足，当时，.若函数有5个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先根据得出函数的图象关于点成中心对称，结合直线与二次函数的交点关系可求实数的取值范围.

【详解】

因为函数满足，

所以函数的图象关于点成中心对称.

函数有五个零点，即方程有五个实数根，即函数的图象与直线有5个交点.

因为直线过点，且，只需直线与的图象有2个交点即可.

将代入，整理得，

设两个交点为，，则，即，解得.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数的性质及零点问题，零点个数问题一般是转化为两个函数图象交点的问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养.

二、填空题

13．已知向量，，，则在方向上的投影是______.

【答案】

【解析】先求出向量的坐标，利用公式可得在方向上的投影.

【详解】

，则在方向上的投影是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学运算的核心素养.

14．已知实数，满足，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据约束条件作出可行域，平移找到取最值的点，然后可得范围.

【详解】

由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），

作直线：，平移直线，当过点时取得最大值，

当过点时取得最小值，所以的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.

15．已知函数在点处的切线方程为，则的值为______.

【答案】3

【解析】先求导数，结合和可得的值.

【详解】

由题知，，因为函数在点处的切线方程为，所以，

又，切点在切线上，所以，所以，所以.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立方程组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数学抽象的核心素养.

16．已知四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，用与直线、都平行的平面截此四棱锥，截面与、、、、分别交于、、、、，则截面面积的最大值为__________.

【答案】

【解析】先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二次函数的知识求解最值.

【详解】

设，连接，，交，分别于，，连接，∵平面，∴，

∵平面，∴，，，

∴，，∴，

∵平面，连接，∴，，

∴，，，

∴四边形为矩形，，，，

∴

，∴当时，.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查立体图形中的最值问题，动态最值的确定的关键是明确目标的关系式，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

三、解答题

17．已知，，分别是内角，，所对的边，.

（1）求角；

（2）已知是上一点，，，，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）利用正弦定理化边为角，可得，进而可得角；

（2）利用余弦定理求出，进而利用面积公式可求.

【详解】

（1）∵，

∴，

由正弦定理得，

∴，即，

∵，∴，∴，

显然，∴，

∵，∴.

（2）在中，由余弦定理知，，

即，

解得或（舍），

∵，∴，

∴.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形，三角形中边角进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

18．在如图所示的多面体中，四边形是边长为2的菱形，，平面，，，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行；

（2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求.

【详解】

（1）证明：设与的交点为，则为的中点，

取的中点，连接，则，又，所以，

因为，，

所以四边形是平行四边形，则，

因为平面，平面，

所以平面，即平面.

（2）取的中点，连接，则，易得，

因为平面，所以平面平面，

所以平面.

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.

所以，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，得，，所以.

设直线与平面所成角为，

则.

【点睛】

本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解，线面平行一般利用线线平行或者面面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.

19．某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教辅的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷调查，其相关评分（满分100分）情况统计如下图所示：

为了判断今年该套教辅的销售情况，公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如下：

（1）求参加问卷调查的读者所给分数的平均分；

（2）以频率估计概率，若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3人，记给分在或的人数为，求的分布列及数学期望；

（3）根据上表中数据，建立关于的线性回归方程.

附：对于一组数据，，其回归直线的斜率和截距的计算公式：，.

【答案】（1）；（2）的分布列见解析，；（3）

【解析】（1）利用频率分布直方图区间中点代表区间平均数进行求解；

（2）利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望;

（3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程.

【详解】

（1）依题意，所求平均分

.

（2）随机抽取1人，给分在或的概率，故，

则，，

，，

故的分布列为：

故.

（3）由题意可知：，，

，

，

，，

∴关于的线性回归方程为.

【点睛】

本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养.

20．抛物线：的焦点为，直线的倾斜角为且经过点，直线与抛物线交于两点，.

（1）若，求角；

（2）分别过，作抛物线的切线，，记直线，的交点为，直线的倾斜角为.试探究是否为定值，并说明理由.

【答案】（1）或；（2）为定值，理由见解析

【解析】（1）先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式可求角；

（2）通过导数，表示出切线的斜率，得到点的坐标，结合斜率公式求出的斜率，进而可得为定值.

【详解】

（1）由抛物线的焦点为，可得，

所以抛物线的方程为.

设直线的方程为，代入，消去，

得，设，，则，

所以，

得，，所以，则或.

（2）设直线方程为，，，

将直线的方程代入，消去，得，

则①，②.

由求导，得，

所以直线，的斜率分别为，，

则，的方程分别为③，④，

解③④组成的方程组，结合①，②，得，，即，

因为，所以，所以，所以.

所以为定值.

【点睛】

本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.

21．已知函数，.

（1）若函数的极小值不小于，求实数的取值范围；

（2）用表示，中的最大值，设，讨论零点的个数.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）求解导数，讨论，求出极小值，进而可得实数的取值范围；

（2）分类讨论的值，确定的表达式，结合单调性，得出零点个数.

【详解】

（1），

当时，，函数在上单调递增，无极值，不满足题意；

当时，令，解得或；

令，解得.

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故函数有极小值，

∴，

解得.

（2）①当时，，

若，即，则，则是的零点；

若，即，则，则不是的零点；

②当时，，故只需研究在上的零点个数，即只需研究方程在上的解的个数问题.

设，则，

当时，，在上单调递增，所以.

当，即时，方程在上无解，所以函数在上无零点；

当，即时，方程在上有一个解，所以函数在上有一个零点.

综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数无零点.

【点睛】

本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点，侧重考查数学抽象的核心素养.

22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）已知是直线上的动点，是曲线上的动点，求的最小值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）消去参数得直线的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直角坐标方程；

（2）设出的参数坐标形式，利用点到直线的距离结合三角函数知识可得的最小值.

【详解】

（1）由（为参数）消去参数得直线的普通方程为，

∵，∴，

∴，∴曲线的直角坐标方程.

（2）设，则点到直线的距离，

∴当时，，

∴.

【点睛】

本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数方程求解最值问题，熟记转化方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为一次不等式求解；

（2）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为分段函数，求解分段函数的最小值即可.

【详解】

（1）不等式，即，

化为或，解得或，

∴不等式的解集为或.

（2）设，

∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，

∴，

由题知，，

∴实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查含有绝对值不等式的解法，含有绝对值的不等式求解一般是利用分类讨论去掉绝对值，转化为普通不等式进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.