2020届河南省名校联盟高三尖子生3月调研考试数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
，，所以.
故选：C．
【点睛】
本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式.
【详解】
.
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.
3．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到，取特殊值得到，从而得到“”是“”的充分不必要条件.
【详解】
因为，所以
根据不等式的性质得到：
即
反过来，因为当时，的值没有意义，所以
则“”是“”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.
4．的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.
【详解】
的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.
5．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意得，所以，，所以双曲线渐近线方程为.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.
6．函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.
【详解】
的递减区间是，又，，所以，所以，所以.
故选：B．
【点睛】
本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题.
7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】运行程序进行计算，当时结束循环，输出.
【详解】
第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，，结束循环，故输出的值为．
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.
8．一底面半径为的圆柱形封闭容器内有一个半径为的小球，与一个半径为的大球，则该容器容积最小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.
【详解】
当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为（其中表示如图的直角边的长），所以该容器容积最小值为.
故选：C．
【点睛】
本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
9．已知正项数列的前项和为，且成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据递推关系式证得为等差数列，由此求得，结合成等比数列列方程，求得，由此求得的值.
【详解】
由得，所以为等差数列，且公差，所以，，由成等比数列，得，所以，，.故选：A．
【点睛】
本小题主要考查根据等比中项的性质，考查的运用，属于中档题.
10．已知点是椭圆上的两点，且线段恰为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知点关于原点对称，设出的坐标并代入椭圆方程，利用直线斜率之积为列方程，化简后求得，由此求得椭圆离心率.
【详解】
由题意知点关于原点对称，设，则，设，由，相减得，所以，所以，椭圆的离心率为.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
11．已知圆与轴切于点，与轴正半轴交于点，且，设点是圆上与点不重合的点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设出圆的方程，根据圆与轴相切于点以及求得圆的半径，由此求得圆的方程，进而求得的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.
【详解】
由题意，设圆方程为，则，，所以，圆方程为，可得，，设则.
故选：D．
【点睛】
本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.
12．已知函数的图象与的图象在有个交点，分别记作则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】判断出和的图象都关于对称，结合两个函数图象求得的值，根据对称性求得.
【详解】
，由是奇函数，可得图象关于点对称，的图象也关于点对称，函数的图象与的图象在有个交点，其中个为，其余对关于点对称，所以，，所以.
故选：C．
【点睛】
本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题
13．已知正数满足约束条件则的最大值为______．
【答案】
【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界点位置，由此求得的最大值.
【详解】
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中，设，则，平移直线至经过点时，直线的纵截距最大，所以．
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
14．已知数列满足，，则______．
【答案】
【解析】根据递推关系式证得数列是等比数列，由此求得的值.
【详解】
由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.
15．在中，内角内角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得的值，进而求得，利用正弦定理将表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.
【详解】
由得，因为，所以，，
所以，
所以，
因为，所以，，，的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
16．已知则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】利用导数判断出在上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.
【详解】
当时，，所以在上是增函数，且，所以或．
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题.
17．已知数列，满足，，且是等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）．（2）
【解析】（1）求得数列的公差，由此求得数列的通项公式，进而求得的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列的前项和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由，，得，所以，
所以，．
（2）因为，
所以．
【点睛】
本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.
18．经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有名员工，把这名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)
（1）求这名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；
（2）若从月应纳税超过百元的员工中选名参加个税法宣传活动，用表示所选员工中女员工的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．
【答案】（1）．（2）分布列见解析，期望为
【解析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.
（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.
【详解】
（1）根据茎叶图可知：月工资在元以上的员工需缴纳个人所得税，共人，这人月工资的中位数为百元.
（2）月工资超过百元的员工年度应纳税超过百元，有人，其中女员工人，所以的取值依次为．
，，
，．
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
．
【点睛】
本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.
19．如图所示，在三棱锥中，，，，点为中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析．（2）
【解析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【详解】
（1）因为，所以平面，
因为平面，所以．
因为，点为中点，所以．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量，则即
取，则，，所以，
设平面的一个法向量，则即
取，则，，所以，
设平面与平面所成锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知焦点为的抛物线与圆交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）在第一象限内，圆上是否存在点，过点作直线与抛物线交于点(为第四象限的点)，与轴交于点，且以点为圆心的圆过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）．（2）不存在，理由见解析．
【解析】（1）根据在抛物线和圆上，求得的值，由此求得抛物线的方程.
（2）假设存在点，根据圆的几何性质得到，点为线段中点.设出直线的方程，由此写出直线的方程，分别与圆的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点的坐标，根据的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点不存在.
【详解】
（1）由抛物线与圆交于点，点在圆上，即，
可得，又在抛物线上，则，
解得，所以抛物线的方程为．
（2）假设存在点，以点为圆心的圆过点，
则，点为线段中点，
由题意知，直线的斜率存在且大于，
设的方程为，则的方程为，
又圆方程为，
由得，所以得，
由得，所以得，
因为点为线段中点，
所以，整理得，
符合条件的不存在，所以满足条件的点不存在．
【点睛】
本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
21．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）判断方程在上的实根个数；
【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析
【解析】（1）求得的定义域和导函数，由此判断出的单调性.
（2）利用的最小值判断出，对分成三种情况进行分类讨论，结合，判断出方程在上的实根个数.
【详解】
（1）的定义域为.由，
得，
所以当时，是减函数；
当时，是增函数．
（2）由（1）知，，
由，得，所以．
①若，由可得在上没有实数根；
②若，由可知，
在上有个实数根；
当时在上是减函数，在上是增函数，
由，，
可得在上有一个实根，
又
设，则，
所以在上是增函数，所以，
所以，，
所以在上有个实根，
综上可得，若，在上没有实数根；若，在上有个实数根；若时在上有个实根．
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，点是曲线上的动点，点在延长线上，且．
（1）求点轨迹的参数方程；
（2）以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线(与原点不重合)的交点分别为，求．
【答案】（1）(为参数)．（2）
【解析】（1）由得，设，则，将点坐标代入曲线的参数方程，化简后求得的轨迹的参数方程.
（2）将的参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐标方程，令求得和，由此求得.
【详解】
（1）由点在延长线上，且，
可得，设，则，
由点是曲线上动点，可得即
所以点轨迹的参数方程为(为参数)．
（2）因为曲线的参数方程分别为
消去参数，得曲线的直角坐标方程分别为，，
由，，得曲线的极坐标方程分别为，，所以，，
所以．
【点睛】
本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
23．已知．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若存在，对任意恒有，求实数的取值范围．
【答案】（1）．（2）
【解析】（1）当时，利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得出不等式的解集.
（2）先求得的最小值为，利用基本不等式求得，依题意得到，解绝对值不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，
当时，由得，所以，
当时，由得，所以，
当时，由得，所以，
综上得的解集为．
（2）因为，
当时取等号，
．
依题意：存在，对任意恒有，
则，，即
所以实数的取值范围是．
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
