2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通过配方求出集合，解不等式求出集合，进而可得并集.
【详解】
对于集合A：配方得，
从而.
对于集合
，
解得，
，
从而.
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.
2．已知为的共轭复数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先由已知求出，进而可得，则复数的模可求.
【详解】
由题意可知，
从而.
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.
3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）
A．智能类专业共有630人
B．该学院共有3000人
C．非文化类专业共有1800人
D．动漫类专业共有800人
【答案】D
【解析】根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.
【详解】
该学院共有人，B正确；
由题意可知，文化类共有，
而智能类共有，
所以智能类专业共有人，A正确；
非文化类专业共有人，C正确；
动漫类专业共有人，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.
4．已知数列是等比数列，是方程的两根，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】根据韦达定理可得均为正数，再通过等比数列的性质可得.
【详解】
方程的两根分别为，
，
，
由等比数列性质可知，
又.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.
5．已知函数是定义在上的偶函数，为区间上的任意两个不相等的实数，且满足，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据函数是偶函数可得出函数的图象关于直线对称，再由得在上为增函数，根据的大小关系可得函数值的大小.
【详解】
函数是偶函数，
函数的图象关于直线对称，从而函数的图象关于直线对称，
由得在上为增函数，
，由得，
从而，
即.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.
6．已知是不同的直线，是不同的平面，若直线，直线，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.
【详解】
当时，若，则不能得到，所以不能推出；
反之，若，因为，可推出.又，
所以，故是的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.
7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】A
【解析】由三视图可知该几何体正方体截去一个小三棱锥，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可.
【详解】
由三视图可知该几何体正方体截去一个小三棱锥，如图
在中，，
可计算边上的高为，
，
从而可得该几何体的表面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.
8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）
A．4种 B．5种 C．31种 D．36种
【答案】C
【解析】分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可.
【详解】
该小朋友连正确两对的方法数为种；
连正确3对的方法数为种；
连正确4对(即5对)的方法数为1种，
至少连正确两对的方法数共有种，
故选：C.
【点睛】
本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.
9．已知函数的部分图像如图所示，给出下列四个结论：
①的最小正周期为；
②的最小值为；
③是的一个对称中心；
④函数在区间上单调递增.
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】通过图像可得函数的周期，过点，列方程可得解析式为，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.
【详解】
由图象知函数的最小正周期为，则，
即，
又由，得，
由可知，从而，
又，可得，
所以，
从而，易判断①②正确，
而，所以③错误，
又由，
得的增区间为，
可知当时，是的一个增区间，④正确.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.
10．已知实数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，变形，展开，利用基本不等式即可求最值.
【详解】
因为，所以，即，
，
当且仅当即时取等号.
故选：C.
【点睛】
本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.
11．如图，在中，为的中点，为的两个三等分点，交于点，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，由三点共线，可设，将用表示，则可得，同理由三点共线，可设，利用平面向量基本定理列方程组求解.
【详解】
连接，
由三点共线，可设，
由题意知
所以，
同理由三点共线，可设，
所以，解得，
从而.
故选:A.
【点睛】
本题考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握，是中档题.
12．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，知点为的中点，由题可得，根据双曲线的定义可得，整理可得离心率.
【详解】
设双曲线的右焦点为，连接.
由，知点为的中点，
则为的中位线，
则，又，
所以可得.
由双曲线的定义，得，
整理可得，则，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查双曲线的定义，离心率的求解，是中档题.
二、双空题
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
已知两组数据的平均数相同，则_________；乙组的中位数为________.
【答案】
【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数.
【详解】
由题意，先计算甲组平均数
，
因为，
所以，
解得.
将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.
三、填空题
14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________.
【答案】乙､丁
【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A地，一个在B地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果.
【详解】
四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A地，一个在B地；所以甲、丁一个在A地，一个在B地.
又给乙看了丙的分配地，
所以乙知道自己的分配地；
给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，
故填乙､丁.
故答案为：乙､丁.
【点睛】
本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.
15．已知抛物线，有如下性质：由抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为，过抛物线的焦点，经反射后，反射光线与轴的距离为，则抛物线的方程为_________.
【答案】或
【解析】过点的直线为，与抛物线联立，求得，进而根据条件列方程可得的值，则抛物线方程可求.
【详解】
过点的直线为，
由，得或，
从而或3，
故所求抛物线方程为或.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题.
16．已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】由题意可知，设，可得，求出的单调性，分，讨论，求出的单调性和最值，进而可得答案.
【详解】
由题意可知，
设，
则，所以在上为增函数，，
（1）当，即时，，从而在上为增函数，
所以恒成立；
（2）当，即，令，则.
又，所以，使得，
从而在上为减函数，当时，，不合题意.
综上得取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.
四、解答题
17．如图，为等边三角形，边长为3，为边上一点且，过作交的延长线于点.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）在中，由余弦定理求出，结合正弦定理求出的正弦值；
（2）在中，应用正弦定理，求出.
【详解】
（1）由题意可知，由余弦定理，
得
从而，
设，在中，由正弦定理，
得，即，
得；
（2）由题意知为锐角，所以，
而，
在中，由正弦定理，得，
所以.
【点睛】
本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【解析】（1）由已知条件得，又，易证平面，从而证得平面；
（2）由（1）可建立空间直角坐标系，应用平面的法向量形成的角求解二面角.
【详解】
（1）在中，由余弦定理，
可知，
，
从而可得，
又为平行四边形，
，即，
平面平面，
，从而平面，
又平面，
在，可得，
又，
从而可得，
又，
平面；
（2）由（1）可知，
所以分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
设，由，得
，
设平面的法向量为，
则由，得，
令则，
设平面的法向量为，
则由，得，
令，得
，
，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以所求余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直及二面角的余弦值，考查空间想象能力，高考对立体几何的考查一般分两问，第一问证明，第二问求值，求二面角问题时，采用空间向量方法来解决，是中档题.
19．已知椭圆的左､右焦点分别是，直线过交于两点，的周长为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线(斜率存在)交椭圆于两点(异于上顶点)，椭圆上顶点为，线段的垂直平分线在轴上的截距为，求的取值范围.
【答案】（1）.（2）且
【解析】（1）利用椭圆定义，以及椭圆的所过点可确定椭圆的标准方程；
（2）设直线方程，联立直线与椭圆方程，应用，可变两参数为一个参数，进而用关于的式子表示，从而可得的范围.
【详解】
（1）由题意可知的周长为，
又过且垂直于轴的直线被椭圆所截的弦长为，
椭圆过点，代入椭圆方程得①
又②
由①②得，
椭圆的标准方程为；
（2）由题可知直线的斜率，设，
则由，得，
且，化简得，
设，则，
，
，
即，
也即，
整理得，解得或(舍去)，
所在的直线方程为，
设线段的中点坐标为，
则，
线段的中垂线的方程为，
直线在轴上的截距，，
当时，，；
当时，，，
且.
综上所述，的取值范围是且.
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的垂直问题，考查运算求解能力；直线与椭圆的位置关系是高考的重点，主要解决方法联立方程处理根与系数关系，经常结合基本不等式研究变量的取值范围.
20．已知函数
（1）若，求的单调区间；
（2），若的导函数有零点，求的取值范围.
【答案】（1）的增区间为，减区间为.（2）
【解析】（1）代入原式，求导，判断导数符号，确定单调区间；
（2）利用参变量分离，通过构造新函数，研究新函数的取值，确定参数的范围.
【详解】
（1）当时，，
，
令，
则当时，，
当时，，
时，，
若，则；若，则，
当时，的增区间为，减区间为；
（2）由题意，可知
则在上有解，
设，则
若，则，即
解得且
若，则，即
解得
在上为增函数，在上为减函数
而
，又
或
的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数求解函数的单调区间，以及恒成立条件下的求范围问题；考查运算能力和分析问题､解决问题的能力，是一道难度较大的题目.
21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.
（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；
（2）设第次由甲投掷的概率为，求.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；
（2）由第次与次的关系，建立递推公式，构造等比数列数列，求出通项公式即可.
【详解】
由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有
共21种.
则点数之和大于6的概率为，小于等于6的概率为.
（1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：
①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，
其概率为，
②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，
其概率为，
甲为“幸运儿”的概率为；
（2）第次由甲投掷这一事件，包含两类：
①第次由甲投掷，第次由甲投掷，其概率为，
②第次由乙投掷，第次由甲投掷，其概率为，
从而有，
数列是以为首项，为公比的等比数列
，
.
【点睛】
本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，曲线.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设与交于两点(异于原点)，求的最大值.
【答案】（1）.（2）
【解析】（1）展开曲线的方程，利用，从而得曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.
【详解】
（1）曲线可化为，
即，也即，
所以
所以曲线的极坐标方程为；
（2）由直线的参数方程可知，必过点，即圆的圆心，
从而
设，其中
则
所以当时，取得最大值为.
【点睛】
本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.
23．已知实数满足且.
（1）证明：；
（2）证明：.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析
【解析】（1）应用关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；
（2）设，通过可得，利用基本不等式求得最大值，即可证明.
【详解】
（1）解法1：
从而可得；
解法2：
原不等式可化为
且
当且仅当时取等号，得证；
（2）设，则
，当且仅当时等号成立，得证.
【点睛】
本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.
