2020届河南省新乡市高三上学期第一次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届河南省新乡市高三上学期第一次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．若与的虚部互为相反数，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得的值.

【详解】

因为，所以虚部为，

因为，所以虚部为，

所以，即.

故答案为：D.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查对复数概念的理解，考查基本运算求解能力.

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对集合，利用一元二次不等式的解法求得不等式的解集，从而化简集合，再与进行交、并运算，从而得到答案.

【详解】

因为，，

所以，.

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次不等式的求解、集合的交、并运算，考查基本运算求解能力.

3．某地有两个国家AAAA级景区—甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的客流量，下列结论正确的是（    ）

A．甲景区客流量的中位数为13000

B．乙景区客流量的中位数为13000

C．甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值小

D．甲景区客流量的极差比乙景区客流量的极差大

【答案】D

【解析】对A，中位数为12950；对B，中位数为12450；对C，通过茎叶图直观感知甲数据的平均数大；对D，分别计算极差进行比较.

【详解】

对A，甲景区客流量的中位数为12950，故A错误；

对B，乙景区客流量的中位数为12450，故B错误；

对C，根据茎叶图的数据，可知甲景区客流量的平均值比乙景区客流量的平均值大，故C错误；

对D，甲景区客流量的极差为3200，乙景区客流量的极差为3000，故D正确.

故选D.

【点睛】

本题利用茎叶图呈现数据，考查数据处理能力，考查样本的数据特征，属于容易题.

4．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理得到零点所在的区间.

【详解】

因为在上单调递增，，，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负.

5．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用倍角公式求出的值，再将目标式子化成关于的表达式，从而求得式子的值.

【详解】

因为，

因为，所以，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查三角恒等变换中的倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想的运用，求解时注意利用角的范围判断正切值的符号.

6．求的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】阅读程序框图，写出前面几步，再总结规律，得到时，，从而推断判断框应填的条件.

【详解】

，；

，； 

依此类推，，

故判断框中可填入“”.

故选：A.

【点睛】

本题考查程序框图的阅读，求解的关键是抓住求和的规律，考查特殊到一般的思想的运用.

7．若双曲线实轴的顶点到它的渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由点到直线的距离公式求得的值，再由离心率公式求得离心率.

【详解】

双曲线的一个顶点为，一条渐近线为，

点到直线的距离为，

所以，所以双曲线的方程为，

则，故其离心率为.

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程、离心率计算，考查方程思想的应用，求解时注意不能把的值弄错.

8．的展开式的常数项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.

【详解】

∵，

∴的展开式中的常数项为.

故选：A.

【点睛】

本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.

9．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为平方厘米，半球的半径为厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的高度与半球的半径分别为，计算容积得到，根据高的关系得到，计算得到答案.

【详解】

设圆柱的高度与半球的半径分别为，则，则，

所以酒杯的容积，

又，所以，所以，解得.

故选：

【点睛】

本题考查了几何体的体积运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

10．为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.

【详解】

因为，恰好为椭圆的两个焦点，

因为，

所以.

因为，得，

所以，则.

故选：B.

【点睛】

本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.

11．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用面积公式、诱导公式、正弦定理将等式等价于，从而得到的关系，再根据三角形为锐角三角形，三个内角都是大于0小于，即可得到答案.

【详解】

因为，即，

所以，因为，

所以.由余弦定理，可得，

再由正弦定理得.

因为，

所以，

所以或，得或（舍去）.

因为是锐角三角形，所以得.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角形的面积公式、诱导公式、正弦定理、解不等式等知识的交会，考查转化与化归思想、函数与方程思想的灵活运用，考查运算求解能力，求解时对三角恒等变形的能力要求较高.

12．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式的特点构造函数，再利用导数研究函数的单调性，进而解不等式.

【详解】

令，∵是定义在上的奇函数，

∴是定义在上的偶函数，

当时，，由，得，

∴，则在上单调递减

将化为，即，则.

又是定义在上的偶函数，

∴在上单调递增，且.

当时，，将化为，

即，则.

综上，所求不等式的解集为.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、奇偶性进行不等式求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键在于根据的给不等式的特点，构造新函数，且所构造的函数能利用导数研究单调性，难度较大.

二、填空题

13．设向量，，，则________.

【答案】7

【解析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案.

【详解】

因为，，

所以.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题.

14．已知函数若，且，则________.

【答案】6

【解析】作出函数的图象，通过图象可以得到，，通过对数运算易得的值，从而求得答案.

【详解】

函数的图象如图所示：

易知，则.

又，所以，即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用函数图象的对称性及图象的翻折变换，得到之间的关系，考查数形结合思想的灵活运用，求解时注意利用图形的直观性，使问题求解过程更清晰、简洁.

15．若函数在内存在唯一的，使得，则的最小正周期的取值范围为________.

【答案】

【解析】根据得到，由的图象特征可得，从而得到的范围，再由周期公式得到周期的范围.

【详解】

因为，，所以.

依题意可得，解得，

则.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用整体思想、三角函数的五点法作图，研究三角函数的周期，考查数形结合思想的灵活运用，同时求解时注意整体思想的运用.

16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.

【答案】

【解析】先找出与平面所成角，再利用正切值为2，证得E为PC的中点.根据所给各边的长度，求出的斜弦值，再将翻折至与平面PAB共面，利用余弦定理求出，即为的最小值.

【详解】

取CD的中点H，连接BH，EH.

依题意可得，.因为平面ABCD，所以，

从而平面ABCD，

所以BE与平面PCD所成角为，

且，则，则E为PC的中点.

在中，.

因为，，，

所以，所以.

将翻折至与平面PAB共面，如图所示，则图中，

当F为AE与PB的交点时，取得最小值，此时，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查空间中线面垂直、线面角、余弦定理等知识的交会，考查空间相象能力和运算求解能力，将空间中线段和的最值问题，转化成平面问题，对转化与化归思想的考查要求较高，属于难题.

三、解答题

17．甲、乙两人同时参加一个外贸公司的招聘,招聘分笔试与面试两部分,先笔试后面试.甲笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.5,乙笔试与面试通过的概率分别为0.8,0.4,且笔试通过了才能进入面试,面试通过则直接招聘录用,两人笔试与面试相互独立互不影响.

(1)求这两人至少有一人通过笔试的概率;

(2)求这两人笔试都通过却都未被录用的概率;

(3)记这两人中最终被录用的人数为X,求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.96；(2)0.192；(3)分布列见解析，数学期望0.72

【解析】(1)利用独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(2)直接利用独立事件的概率公式求解即可；（3）X可取0,1,2, 利用独立事件与对立事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.

【详解】

(1)设“这两人至少有一人通过笔试”为事件A,

则P(A)=1P()=1 (10.8)2=0.96.

(2)设“这两人笔试都通过却都未被录用”为事件B,

则P(B)=0.82×(10.5)×(10.4)=0.192.

(3)甲、乙两人被录用的概率分别为0.8×0.5=0.4,0.8×0.4=0.32.

由题意可得X可取0,1,2,则

P(X=0)=(10.4)×(10.32)=0.408,

P(X=1)=(10.4)×0.32+0.4×(10.32)=0.464,

P(X=2)=0.4×0.32=0.128,

所以X的分布列为

故E（X）=0×0.408+1×0.464+2×0.128=0.72.

【点睛】

本题主要考查对立事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.

18．如图，在正四棱锥中，二面角为，为的中点.

（1）证明：；

（2）已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为，求

【答案】（1）详见解析；（2）11.

【解析】（1）设V在底面的射影为O，连接OE，找出二面角的平面角，再证明，从而得到；

（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，，根据异面直线与所成角为，求出的值，从而得到的值.

【详解】

（1）设V在底面的射影为O.则O为正方形ABCD的中心如图，

连接OE，因为E为BC的中点，所以.

在正四棱锥中，，则，

所以为二面角的平面角，则.

在中，，又，

所以.

（2）取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，.设，

则，

从而，

整理得，解得（舍去），

故.

【点睛】

本题考查空间中的线线垂直、线面角、面面角定义，考查空间想象能力和运算求解能力，在第（2）问求解时，根据共线向量基本定理确定，引入一个变量确定点的位置，是求解问题的关键.

19．在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在点符合题意.

【解析】（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；

（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.

【详解】

（1）设，，

则，，.

又，则即

因为点N为曲线上的任意一点，

所以，

所以，整理得，

故点C的轨迹方程为.

（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，

将代入，得.设，，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.

【点睛】

本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题，考查函数与方程思想、数形结合思想的应用，求解时注意直线方程的设法，能使运算过程更简洁.

20．已知数列满足

（1）证明：数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）根据递推关系得到，再利用定义证明数列为等差数列；

（2）由（1）得，再利用错位相减求和等差数列前项和公式，求得数列的前项和

【详解】

（1）当时，，

则.∵，∴.

又∵，，∴，也满足，

∴，∵，

∴数列为公差是2的等差数列.

（2），设数列的前n项和为，

则，

∴，∴，即，故，

∴.

【点睛】

本题考查数列递推关系、等差数列的定义、等差数列前项和、错位相减法求和，考查转化与化归思想、方程思想的运用，考查运算求解能力.

21．已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.

【解析】（1）先对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解导数不等式，从而得到函数的单调区间；

（2）由，将对恒成立等价于对恒成立.构造函数，取，则，进而得到函数的最小值为2，即可得到到的取值范围.

【详解】

（1）.

当时，令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时令，得；令，得.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，，

令，得；令，得.

所以，所以.取，

则，即，

所以.

设，因为，，

所以方程必有解，

所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，特别是构造新函数后，再利用导数的工具性作用研究函数是求解的关键.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式化成极坐标方程；

（2）将点的极坐标化为直角坐标，得点为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解.

【详解】

解：（1）曲线C的直角坐标方程为，即，

因为所以，即，

故曲线C的极坐标方程为.

（2）将代入，得.设A、B两点对应的参数分别为，，则，.因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以.

【点睛】

本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.

23．已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将函数的绝对值去掉等价于再分别解不等式并取交集；

（2）利用取整函数的定义，将不等式转化为，再利用（1）的结论进行求解.

【详解】

（1）

由得：或或解得：；

由，或或解得：.

故不等式的解集为：.

（2）依题意可得等价于，

由（1）知的解集为.

因为对恒成立，

所以，所以解得，

所以a的取值范围为.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.