2020届河南省驻马店市高三第二次模拟测试数学（理）试题（解析版）

2020届河南省驻马店市高三第二次模拟测试数学（理）试题

一、单选题

1．若为纯虚数，则z＝（    ）

A． B．6i C． D．20

【答案】C

【解析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

∵为纯虚数，

∴且

得，此时

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

2．已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（    ）

A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6}

C．{1，2，3，4，5，6} D．{1，3，4，5，6，7}

【答案】C

【解析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A＝{x∈N|x2＜8x}＝{x∈N|0＜x＜8}，

所以集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}

B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，

故＝{1，4，5，6}，

所以＝{1，2，3，4，5，6}.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

3．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先计算，然后将进行平方，，可得结果.

【详解】

由题意可得：

∴

∴则.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。

4．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.

【详解】

由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

5．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（    ）

A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为

C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为

【答案】C

【解析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.

【详解】

解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，

其中D为AB的中点，底面ABC.

所以三棱锥P-ABC的体积为，

，，，

，、不可能垂直，

即不可能两两垂直，

，.

三棱锥P-ABC的侧面积为.

故正确的为C.

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.

6．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（    ）

附：若，则，.

A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.9544

【答案】C

【解析】根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.

【详解】

由题意，，，则，，

所以，.

故果实直径在内的概率为0.8185.

故选：C

【点睛】

本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.

7．已知函数，，且，则（    ）

A．3 B．3或7 C．5 D．5或8

【答案】B

【解析】根据函数的对称轴以及函数值，可得结果.

【详解】

函数，

若，则的图象关于对称，

又，所以或，

所以的值是7或3.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题

8．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.

【详解】

因为，所以是偶函数，排除C和D.

当时，，，

令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.

9．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

作出中在圆内部的区域，如图所示，

因为直线，的倾斜角分别为，，

所以由图可得取自的概率为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.

10．已知函数，则函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.

【详解】

当时，.

当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以

令，得，因为，，

所以函数的零点所在区间为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

11．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（    ）

A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12

【答案】D

【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.

【详解】

设，

联立

则，

因为直线经过C的焦点，

所以.

同理可得，

所以

故选：D.

【点睛】

本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（    ）

A．56383 B．57171 C．59189 D．61242

【答案】C

【解析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.

【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，

公差为的等差数列，记数列

则

令，解得.

故该数列各项之和为.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

二、填空题

13．展开式的第5项的系数为_____.

【答案】70

【解析】根据二项式定理的通项公式，可得结果.

【详解】

由题可知：第5项为

故第5项的的系数为

故答案为：70.

【点睛】

本题考查的是二项式定理，属基础题。

14．函数的值域为_____.

【答案】

【解析】利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.

【详解】

函数的定义域为

所以函数的值域为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。

15．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.

【答案】①③④

【解析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.

【详解】

∵，∴曲线在点处的切线方程为，

则.

∵，∴，

则是首项为1，公比为的等比数列，

从而，，.

故所有正确结论的编号是①③④.

故答案为：①③④

【点睛】

本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.

16．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.

【答案】.

【解析】计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.

【详解】

由题意可知，，

所以可得面，

设外接圆的半径为，

由正弦定理可得，即，，

设三棱锥外接球的半径，

因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，

则，

所以外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.

三、解答题

17．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.

（1）求△ABC的面积；

（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据正弦定理，可得△ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.

（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.

【详解】

（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，

利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.

又a＝3，B＝60°,所以；

所以△ABC的面积为.

（2）设D靠近点B，则BD＝DE＝EC＝1.

，

所以

所以.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属基础题.

18．如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，，//，.

（1）证明：//平面BCE.

（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF，然后根据勾股定理计算可得BF＝DE，最后利用线面平行的判定定理，可得结果.

（2）利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果.

【详解】

（1）因为DE⊥平面ABCD，所以DEAD，

因为AD＝4，AE＝5，DE＝3，同理BF＝3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，

所以DE//BF，又BF＝DE，

所以平行四边形BEDF，故DF//BE，

因为BE平面BCE，DF平面BCE

所以DF//平面BCE；

（2）建立如图空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（4，0，0），

C（0，4，0），F（4，3，﹣3），

，

设平面CDF的法向量为，

由，令x＝3，得，

易知平面ABF的一个法向量为，

所以，

故.

【点睛】

本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题，属基础题.

19．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表：

（1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.

（i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

（ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.

【答案】（1）；（2）（i）详见解析；（ii）会超过；详见解析

【解析】（1）利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.

（2）（i）写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.

（ii）由（i）的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.

【详解】

（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，

则P（ξ＝2），P（ξ＝3），

则这3天中空气质量至少有2天为优的概率

为；

（2）（i），

，

，

X的分布列如下：

（ii）由（i）可得：

E（X）＝02201480302（元），

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E（X），

即30E（X）＝9060元，

设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为Y元，

可得：，

，，

E（Y）＝02201480320（元），

所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望为320×（31+31）＝19840（元），

由19840+9060＝28900＞28800，

即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

【点睛】

本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

20．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.

（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.

（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.

（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.

【详解】

（1）证明：∵椭圆经过点，∴，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，

此时椭圆的离心率.

（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.

当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.

∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由，得，

.

设，，则，.

∵，∴，

∴，

∴，即，

∴到直线的距离.

综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.

【点睛】

本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.

21．已知函数，函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：当时，.

（3）证明：当时，.

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.

（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.

（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.

【详解】

（1）解：的定义域为，，

当，时，，则在上单调递增；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；

当，时，，则在上单调递减；

当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；

（2）证明：设函数，则.

因为，所以，，

则，从而在上单调递减，

所以，即.

（3）证明：当时，.

由（1）知，，所以，

即.

当时，，，

则，

即，

又，

所以，

即.

【点睛】

本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.

（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）求的值.

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.

【详解】

（1）的直角坐标方程为，即，

则的极坐标方程为.

曲线的普通方程为.

（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），

代入曲线的普通方程，得.

设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.

【点睛】

本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.

23．已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.

（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.

【详解】

（1）解：，

由，解得，

故.

（2）证明：因为，所以，，

所以，

所以.

【点睛】

本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.