2020届河南省驻马店市高三第二次模拟测试数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由得，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数不等式的解法.
2．若等差数列的前两项分别为1，3，则该数列的前10项和为（ ）
A．81 B．90 C．100 D．121
【答案】C
【解析】先求得公差，然后根据等差数列前项和公式求得前项的和.
【详解】
因为公差，所以该数列的前10项和为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.
3．设复数，定义.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数代数形式的运算法计算出，再根据定义求出.
【详解】
解：因为，所以，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，属于基础题.
4．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是互斥事件
C．与是对立事件 D．，，两两互斥
【答案】B
【解析】根据互斥事件、对立事件的概念，对三个事件进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查对立事件和互斥事件的辨析，属于基础题.
5．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
6．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A．PA，PB，PC两两垂直 B．三棱锥P-ABC的体积为
C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为
【答案】C
【解析】根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点，底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为，
，，，
，、不可能垂直，
即不可能两两垂直，
，.
三棱锥P-ABC的侧面积为.
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
7．如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设出等腰直角三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.
【详解】
设，则，
，，
所以，所以.
因为，
所以.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.
【详解】
因为，所以是偶函数，排除C和D.
当时，，，
令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.
9．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
作出中在圆内部的区域，如图所示，
因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.
10．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）
A．30 B． C．33 D．
【答案】B
【解析】由判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.
【详解】
因为，所以，又底面，
所以球的球心为侧棱的中点，
从而球的直径为.
利用张衡的结论可得，则，
所以球的表面积为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.
11．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.
【详解】
当时，.
当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以
令，得，因为，，
所以函数的零点所在区间为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12
【答案】D
【解析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.
【详解】
设，
联立
则，
因为直线经过C的焦点，
所以.
同理可得，
所以
故选：D.
【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
二、填空题
13．函数的最小值为______.
【答案】9
【解析】结合的定义域，判断出的单调性，由此求得的最小值.
【详解】
∵的定义域为，且在定义域上单调递增，∴.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性求最值，属于基础题.
14．函数的图象的对称轴方程为______.
【答案】
【解析】根据含有绝对值的三角函数的对称性列方程，解方程求得的对称轴.
【详解】
依题意，令，得函数的对称轴方程为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值的三角函数的对称轴的求法，属于基础题.
15．在正方体中，设，与底面所成角分别为，，则______.
【答案】.
【解析】根据线面角的概念判断出线面角，由此求得线面角的正切值，再结合两角和的正切公式，求得的值.
【详解】
因为，都与底面垂直，
所以，，，，
所以.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查两角和的正切公式，属于基础题.
16．在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：①；②；③；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.
【答案】①③④
【解析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程，由此求得与的递推关系式，进而证得数列是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.
【详解】
∵，∴曲线在点处的切线方程为，
则.
∵，∴，
则是首项为1，公比为的等比数列，
从而，，.
故所有正确结论的编号是①③④.
故答案为：①③④
【点睛】
本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
三、解答题
17．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成，，，，，六组，得到如下频率分布直方图.
（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在内的概率.
【答案】（1）79；（2）
【解析】（1）首先根据频率分布直方图计算出答对题数的平均数，由此求得成绩的平均分的估计值.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
（1）因为答对题数的平均数约为.
所以这40人的成绩的平均分约为.
（2）答对题数在内的学生有人，记为，；
答对题数在内的学生有人，记为，，.
从答对题数在内的学生中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，
恰有1人答对题数在内的情况有，，，，，，共6种，
故所求概率.
【点睛】
本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数，考查计算古典概型概率问题，属于基础题.
18．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°.
（1）求△ABC的面积；
（2）若D，E是BC边上的三等分点，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据正弦定理，可得△ABC为直角三角形，然后可计算b，可得结果.
（2）计算，然后根据余弦定理，可得，利用平方关系，可得结果.
【详解】
（1）△ABC中，由csinC＝asinA+bsinB，
利用正弦定理得c2＝a2+b2，所以△ABC是直角三角形.
又a＝3，B＝60°,所以；
所以△ABC的面积为.
（2）设D靠近点B，则BD＝DE＝EC＝1.
，
所以
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属基础题.
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，与相交于点.
（1）证明：平面.
（2）若，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）首项通过证明，证得，然后通过证明四边形是正方形证得，由此证得平面，所以.通过证明为等腰直角三角形证得，由此证得平面.
（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得点到平面的距离.
【详解】
（1）证明：∵平面，∴.
∵，，∴四边形为平行四边形，
∴，
∴.
又∵，，且为的中点，
∴四边形为正方形，∴.
又，∴平面，则.
∵平面，∴，又，
∴为等腰直角三角形，为斜边上的中点，
∴且，∴平面.
（2）解：∵，∴.
设到平面的距离为，
由，
得，
解得.
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．已知函数.
（1）若在上存在极大值，求的取值范围；
（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）求得的导函数，对分成三种情况，结合在上存在极大值，求得的取值范围.
（2）首先根据轴是曲线的一条切线求得的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，令，得，.
当时，，单调递增，无极值，不合题意；
当时，在处取得极小值，在处取得极大值，
则，又，所以；
当时，在处取得极大值，在处取得极小值，
则，又，所以.
综上，的取值范围为.
（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，
解得.
设函数，，
当或时，；当时，.
所以在处取得极小值，且极小值为.
又，所以当时，，
故当时，.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
21．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
【点睛】
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
【答案】（1）：，：；（2）
【解析】（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.
【详解】
（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.
【点睛】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
23．已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
