2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（七）数学（理）试题（解析版）

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（七）数学（理）试题  一、单选题1．已知全集，，，则集合（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由集合运算的定义判断．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（    ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件【答案】D【解析】结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（    ）A．12 B．36 C．16 D．48【答案】A【解析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3，∴其体积为．故选：A．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点将线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得，结合可得，得渐近线方程．【详解】∵左、右顶点将线段三等分，∴，即，∴，．∴渐近线方程为．故选：A．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出的关系．5．如图，若输入的值为4，则输出的值为（    ）A．-3 B． C．2 D．【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论．【详解】程序运行时，变量值变化如下：，开始循环，，满足，；，满足，；，满足，；，不满足，输出．故选：C．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、6．函数的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数零点个数.【详解】由于函数在上是增函数，且，，故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点.故选:B【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7．在直角梯形中，已知∥，，，，，若为的中点，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】分别以AD，AB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则,.8．若的展开式中常数项为，则直线，，轴与曲线围成的封闭图形的面积为（    ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由二项式定理求出，再由微积分基本定理求出面积．【详解】的展开式的通项为，由，得．∴常数项为，，由于与轴有一个交点为，∴．故选：A．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数的图象是在轴上方还是在轴下方．9．函数（其中，的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.【考点】正弦型函数解析式 函数图像平移变换点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10．已知椭圆，，为左、右焦点，，，，分别是其左、右、上、下顶点，直线交直线于点，若为直角，则此椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由是直角，得斜率乘积为－1，由此可得关系，从而得离心率．【详解】由题意，∵为直角，∴，即，即，∴，，∴（舍去）．故选：B．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11．已知为球的直径，，是球面上两点，且，，若球的体积为，则棱锥的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由球体积求出球半径为2，从而可得和都是等腰直角三角形，从而，平面，这样的体积易求．【详解】由，得，如图，由为球的直径，∴，，，，∴平面，，∴．故选：B．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得平面，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12．已知函数，则（    ）A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050【答案】D【解析】应用倒序相加法求和．【详解】∵，记，则，∴，．故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算，从而得解．  二、填空题13．已知，则的最小值是__________．【答案】【解析】分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.14．已知满足：，若的最大值为2，则______.【答案】1【解析】作出可行域（示意图），作直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，向上平移时，增大，易知当直线过点时，取得最大值，所以，．故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系． 非统计专业统计专业男1510女520 参考公式：0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828  【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．【考点】独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16．中，，点在边上，，且，则的最大值为______.【答案】【解析】由，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得点就是边中点，这样在中应用正弦定用角理表示出，利用三角函数性质可求得的最大值．【详解】如图，作于，取中点连接，，∴与共线，从而与重合，即是中点．中，，记，则，，由正弦定理得，即，∴，，，，其中为锐角，，，∴时，取得最大值．故答案为：．【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键． 三、解答题17．已知数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用项和公式求数列的通项公式.(2)利用错位相减法求数列的前n项和．【详解】（1）当时，，解得，由，可得，上述两式相减可得，所以，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）可知，所以，令  ①，则  ②，①－②得，所以，所以．【点睛】（1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.18．小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请大，大，大成功的频率分别为，，.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算.（Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为，试求的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，【解析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得；（Ⅱ）的取值为，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请大，大，大都不成功的概率为，则小建至少申请成功一所大学的概率.（Ⅱ），，，，的分布列如下：0123   .【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，且，为中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由面，得，再结合矩形可证得面，从而得，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角．【详解】（Ⅰ）∵，为中点，∴，∵为矩形，面，∴且，，∴面，平面，∴，，∴面.（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.，，，，，设平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量，则，令，得，则，∵二面角的平面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20．已知抛物线，过焦点作动直线交于两点，过分别作圆的两条切线，切点分别为，若垂直于轴时，.（1）求抛物线方程；（2）若点也在曲线上，为坐标原点，且，，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|＝|BF|＝p．如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF，同理可得sin∠QBF．即可解出p．（Ⅱ）设直线AB的方程为x﹣1＝my，A，B．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由||＜8，，可得8，m2＜1．由t，t≠0．利用向量坐标运算可得，把点H的坐标代入抛物线方程即可得出．【详解】解：（Ⅰ）AB垂直于x轴时，|AF|＝|BF|＝p．如图所示，由切线的性质可得PF⊥AP．在Rt△APF中，sin∠PAF，同理可得sin∠QBF．∵4，∴2p＝4，解得p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线AB的方程为x﹣1＝my，A，B．联立，化为y2﹣4my﹣4＝0，∴y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．∵||＜8，∴，∴8，化为1+m2＜2，即m2＜1．∵16m2+8．t，t≠0．∴．∵点H也在曲线C上，∴．化为t，t≠0．∵0≤m2＜1．∴t∈．∴t的取值范围是：．【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题.21．已知函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程有三个实根，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），增区间：，；减区间：；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）求出导函数，然后由，可求得，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对，由不是方程的根，可变形为，令，利用导数研究的单调性，求出极值后可得结论．【详解】（Ⅰ），由切线方程可得：，∴，增区间：，；减区间：.（Ⅱ），∵不是方程的根，∴，令，，∴在递减，递增，递增，递增.且的根为.，，，的大致图象如图，∴的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论．22．极坐标与参数方程已知曲线：（为参数），：（为参数）．（1）将、的方程化为普通方程；（2）若与交于M、N，与x轴交于P，求的最小值及相应的值．【答案】（1）x2+12y2=1,（2），【解析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1，即可将曲线化为普通方程；消去参数，即可得出的普通方程.（2）C2与x轴交于P，把C2的参数方程代入曲线化为普通方程，整理等关于t的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t1t2，进而求出最小值.【详解】解：（1）由曲线C1：（θ为参数），利用sin2θ+cos2θ==1，化为x2+12y2=1．由C2：（t为参数），消去参数t可得：．（2）C2与x轴交于P，把C2：（t为参数）．代入曲线C1可得：（2+22sin2α）t2+﹣1=0．∴|PM|•|PN|=﹣t1t2=≥，∴|PM|•|PN|的最小值，此时．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.23．设函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（Ⅰ），令或，得，，所以，不等式的解集是．（Ⅱ）在上递减，递增，所以，，由于不等式的解集是非空的集合，所以，解之，或，即实数的取值范围是．