2020届湖北省荆门市高三4月模拟考试数学（理）试题
展开2020年荆门市高三年级高考模拟考试
理科数学试题
全卷满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i是虚数单位，若复数，则=（ ）
A. B. C. D.
2．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列，其前n项和为，且，则=（ ）
A. B. C. D.
4．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。
小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ）
A. B. C. D.
6．已知表示不超过x的最大整数，（如），执行如图所示的程序框图输出的结果为（ ）
A，49850 B．49950 C. 50000 D．50050
7.在二项式的展开式中有理项的项数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8．函数的图像大致为（ ）
9．已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且图像关于点（1，0）对称.若当时，
，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1009 B．2019 C.2020 D.4039
10．已函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11．已知双曲线的右焦点为F，直线与双曲线右支交于点M，若,|则该双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
12．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列正确命题的个数是（ ）
①若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；
②若P在线段上运动，则的最小值为；
③若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；
④若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，则向量在向量方向上的投影为 ．
14．一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出士的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年，某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《术》等五部著作（每部著作有多本）中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有 种.（请用数字作答）
15．已知曲线的焦点为F，点P在曲线上运动，定点A（0．-2），则的最小值为 ．
16．定义：若数列{}满足,则称该数列为“切线一零点数列”已知函数有两个零点1，2，数列{}为“切线一零点数列”，设数列{}满足，数列{}的前n项和为。，则= ．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步。第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17．（本题12分
已知△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足（a-b）sinA= csinC- bsinB
（1）求角C;
（2）若求CD的最大值.
18．（本题12分）
在平行国边形中，是EA的中点（如图1），将沿CD折起到图2中△PCD的位置，得到四棱锥是.
图1 图2
（1）求证：CD⊥平面PDA；
（2）若PD与平面ABCD所成的角为60°．且△PDA为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值。
19．（本题12分）
某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将分数分成6组：
第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.
（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；
（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；
（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）
20．（本题12分）
已知椭圆的左焦点为F，点M（-4，0），过M的直线与椭圆E交于A，B两点，线段AB中点为C，设椭圆E在A，B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点.
（1）证明：O、C、P三点共线；
（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与y轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上.你认为小明猜想合理吗?若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由.
21．（本题12分）
设函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设，若在（0．+∞）上恒成立，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（本题10分）
在平面直角坐标系xOy，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是，直线的参数方程为（t为参数）
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点P的直角坐标为（，0），直线与曲线C相交于AB两点，求.
23．[选修45：不等式选讲]（本题10分）②
已知函数，记f（x）的最小值m
（1）解不等式f（x）；
（2）若a+2b+3c=m，求的最小值.
