2020届湖北省荆门市高三元月调考数学（文）试题

荆门市2020年高三年级元月调考试卷数学（文科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。1．已知集合，，则A．   B．    C.    D．2．设是虚数单位，则等于A．               B．          C．               D．3．下列各式中错误的是A．   B．    C．   D．4．设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为A．  B．    C．    D．5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则A．        B．       C．      D．6．已知则A．       B．       C．       D．7．设是等差数列的前n项和,若,则A．    B．       C．     D．8．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医到气功、武术等等，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是A．  B．C．   D．9．灯会，是中国一种古老的民俗文化，一般指春节前后至元宵节时，由官方举办的大型的灯饰展览活动，并常常附带有一些猜灯谜等活动，极具传统性和地方特色。春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来猜灯谜，每人均获得一次机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A．甲               B．乙           C．丙            D．丁10．函数的大致图象为11．已知二面角为点P、Q分别在、内且P到的距离为,Q到的距离为, 则PQ两点之间的距离为A.             B．            C．              D．12．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则A．            B．           C．             D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取名学生进行调查，若一班有名学生，将每一学生编号从到，请从随机数表的第行第、列（下表为随机数表的前行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为  ▲  .7816651408026314070243699728019832049234493582003623486969387481    14．已知向量满足且，则的夹角为  ▲  .15．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为  ▲  .16．已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为，PA平面ABC，,,则三棱锥体积的最大值为  ▲  . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分12分）已知在等比数列中，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和．18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若二面角为，求直线与平面所成的角的正弦值．  19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组制作了频率分布直方图，（Ⅰ）用该样本估计总体：（1）估计该市居民月均用水量的平均数；（2）如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a的最低标准定为多少吨？（Ⅱ）在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率是多少？20.（本小题满分12分）已知椭圆E：的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆E的长轴为直径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）为椭圆上不同的三点，为坐标原点，若，试问：的面积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．   21.（本小题满分12分）已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为，且，求证：.    请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为:．（Ⅰ）求直线与曲线公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点的直线交曲线于，两点，求的值．    23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】设不等式的解集是，，．（Ⅰ）试比较与的大小；（Ⅱ）设表示数集中的最大数．，求的最小值．
荆门市2020年高三年级元月调考试卷数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：每小题5分，共60分.1－5 DBDBC  6-10 CACAC  11-12 AD二、填空题：每小题5分，共20分.13.43       14.       15.      16.  三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为，∵，，成等差数列，∴，………3分∴．  …………………………………………………6分（2）∵，  ……………………………8分∴ ………………………10分． ………………………12分18.解：（Ⅰ）证明：在中，,所以,所以．      ……………………………2分因为平面平面,平面平面,,所以平面．         ……………………………………………4分又因为平面，所以． ………………………………6分（Ⅱ）解：因为平面，平面，所以．又,平面平面,   所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即．………………………………8分因为,所以平面．所以是直线与平面所成的角．……10分因为在中，，所以在中，． ……12分  19．解：（Ⅰ）（1）月均用水量  ……………………………3分（2）由直方图易知：故月均用水量a的标准定为2.7吨.               ………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知：月均用水量在的人数为：，月均用水量在的人数为：  ……8分     从此6人中随机抽取两人所有可能的情况有： 共15种，其中月均用水量都在的情况有：共6种，    ………………………10分故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率:     ………………………12分 解：（Ⅰ）由题意知，，      …………………………………………2分解得       则椭圆的方程是：     ………………4分（Ⅱ）①当AB斜率不存在时，   ……………………………………………………5分②设由设则     ………………………………………7分 …………………9分原点O到AB的距离………………………………………………………………………………11分故综上：的面积为定值.………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）由题意，方程在有两个不同根,即方程有两个不同根；解法1：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，令,  ……………………………………………………1分故在处的切线方程为：………………3分代入点有：由图象可得：   ……………………………………………5分解法2：转化为函数与函数的图象在上有两个不同交       点．  ………………………………………………………………………………1分，故时，时，…………………3分又由图象可得：………………………………………………5分解法3：  …………………………………………………………1分①最多只有一个实根，不合题意；  …………………………2分②故故   …………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知： …………………7分又    ……………9分 ……11分故     ……………12分22.（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为， …………2分联立方程，解得或，        …………………4分所以，直线与曲线公共点的极坐标为，．…………………5分（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得． ……………………………7分设对应的参数分别为则 ………………………………10分另解：设为的一条切线，由切割线定理： 23.由得，解得，∴．…………………2分（1）由，，得，，∴，故．…………………………5分（2）由，得，，， ……7分∴，故． ………………………9分当且仅当………………………10分