2020届广东省化州市高三第二次模拟考试数学（理）试题

化州市2020年高考第二次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U＝R，集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩（∁UB）＝（　　）A．{1，2} B．{﹣1，0，2} C．{2} D．{﹣1，0}2．设复数，则f（z）＝（　　）A．i B．﹣i C．﹣1+i D．1+i3．“∀x∈R，x2﹣bx+1＞0成立”是“b∈[0，1]”的（　　）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数的最小正周期为4π，则（　　）A．函数f（x）的图象关于原点对称 B．函数f（x）的图象关于直线对称 C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增5．当实数x、y满足不等式组时，恒有ax+y≤3成立，则实数a的取值范围为（　　）A．a≤0 B．a≥0 C．0≤a≤2 D．a≤36．函数f（x）＝a（a＞1）的部分图象大致是（　　）7．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c∈N*）；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是（　　）A．每场比赛第一名得分a为4 B．甲可能有一场比赛获得第二名 C．乙有四场比赛获得第三名 D．丙可能有一场比赛获得第一名8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）A．8 B． C．4 D．9．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC＝2，a+b＝6，2cosC，则c＝（　　）A．2 B．4 C．2 D．310．双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　）A． B． C．2 D．311．若（x1）n的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0，π]和[0，]内任取两个实数x，y，满足y＞sinx的概率为（　　）A．1 B．1 C．1 D．12．定义：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1），f′（x2），则称函数y＝f（x）在区间[a，b]上的一个双中值函数，已知函数f（x）＝x3x2是区间[0，t]上的双中值函数，则实数t的取值范围是（　　）A．（） B．（） C．（） D．（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量（3，4），则与反向的单位向量为　   　14．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝　   　．15．已知曲线f（x）x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为　   　．16．已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x＝λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是　   　．三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S3＝15．（1）求Sn；（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．18．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝A1D，AB＝BC，∠ABC＝120°．（1）证明：AD⊥BA1；（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值．19．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．20．已知直线x＝﹣2上有一动点Q，过点Q作直线l，垂直于y轴，动点P在l1上，且满足（O为坐标原点），记点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）已知定点M（，0），N（，0），点A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．21．已知函数f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）．（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．（二）选做题：共10分请考生在第（22）题和第（23）题中任选一题作答，作答时请在答题卡的对应答题区写上題号，并用2B铅笔把所选题目对应的题号涂黑22．.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）射线θ（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于原点O），定点（M（2，0），求△MAB的面积．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+3|．（1）求不等式f（x）＜3的解集；（2）若不等式f（x）＜3+a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．B2．A3．B4．C5．D6．C7．C8．D9．10．A11．B12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．14．．15．．16．若基集B的元素个数为1，显然不合题意；若基集B的元素个数为2，不妨设为a，b，且a＞b，则所有的可能组合为a，b，a+b，a﹣b，显然不合题意；若基集B的元素个数为3，不妨设为a，b，c，且a＞b＞c，则所有的可能组合为a，b，c，a+b，a+c，b+c，a﹣b，a﹣c，b﹣c，共9中情况，显然不合题意；若基集B的元素个数为4，不妨令B＝{1，2，4，8}，此时对任意的x∈A，存在ai，aj∈B（i≠j），使得x＝λ1ai+λ2aj（λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），所以基集B的元素个数最小值为4．三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分17．（1）解：S3＝3a2＝15⇒a2＝5，∴，∴an＝2n+1，；（2）证明：．．18．证明：（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，∵A1B⊂平面A1OB，∴AD⊥A1B．解：（2）∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，又A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，∴OA、OA1、OB两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设AB＝AD＝A1D＝2，则A（1，0，0），，D（﹣1，0，0），．则，，设平面A1B1CD的法向量则令，则y＝1，z＝﹣1，可取设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ，则．∴直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值为．19．（Ⅰ）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100﹣5﹣30﹣25＝40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率p0.4．（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），∴X的分布列为： X 0 1 2 P   数学期望E（X）1．（Ⅲ）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p，虽然概率较小，但发生的可能性为．故不能认为认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．20．（1）设点P（x，y），则Q（﹣2，y），∴、，∵，所以，，即y2＝2x．因此，点P的轨迹方程为y2＝2x；（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、D（x3，y3），直线BD与x轴的交点为E，内切圆与AB切于点T，设直线AM的方程为，联立方程，得，∴，且0＜x1＜x2，∴，所以，直线AN的方程为，与方程y2＝2x联立得：，化简得，解得或x＝x1，∵，∴BD⊥x轴，设△MBD的内切圆圆心为H，则H在x轴上，且HT⊥AB．方法一：∴，且△MBD的周长为：∴∴；方法二：设H（x2﹣r，0），直线BD的方程为x＝x2，其中．直线AM的方程为：，即，且点H与点O在直线AB的同侧，∴，解得：．方法三：∵△MTH∽△MEB，∴，即，解得：，令，则t＞1，∴在（1，+∞）上单调递增，则，即r的取值范围是．21．（1）∵f（x）＝（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1），∴f′（x）＝（kx+k﹣1）ex﹣k＝k[（x+1）ex﹣1]﹣ex，由已知得，，令g（x）＝（x+1）ex﹣1，则g′（x）＝（x+2）ex，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∵x＜﹣2，∴x+1＜﹣1，则（x+1）ex﹣1＜0，因此g（x）＜0；当x∈（﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，∴g（x）有唯一零点，故x0＝0；（2）f（x）＜0，即（kx﹣1）ex﹣k（x﹣1）＜0，∴k（xex﹣x+1）＜ex，当x≥0时，∵ex﹣1≥0，∴x（ex﹣1）+1＞0，当x＜0时，∵ex﹣1＜0，∴x（ex﹣1）+1＞0，∴x（ex﹣1）+1＞0，则k（xex﹣x+1）＜ex⇔k．设h（x），则k＜h（x）max．又h′（x），令φ（x）＝2﹣ex﹣x，则φ′（x）＝﹣ex﹣1＜0，φ（x）在R上单调递减，又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）＝0，即，当x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）max．令t＝x0﹣2（﹣2＜t＜﹣1），则y＝t∈（），则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．22．（1）解：曲线C1直角坐标方程为：x2+y2﹣4y＝0，由ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y得：曲线C1极坐标方程为ρ＝4sinθ，（2）法一：解：M到射线θ的距离为d＝2sin，|AB|＝ρB﹣ρA＝4（sincos）＝2（1）则S△MAB|AB|×d＝3．法二：解：将θ（ρ≥0）化为普通方程为yx（x≥0），∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，由得∴A（，3）得∴B（1，）， ，点M到直线，∴．23．（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|＜3，当x≤﹣3时2﹣x+x+3＜3解集为空集；当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）＜3解得﹣2＜x＜2；当x≥2时x﹣2﹣（x+3）＜3解得x≥2；故所求不等式的解集为（﹣2，+∞）．（2）不等式f（x）＜3+a等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，∴a+3＞5，∴a＞2．