2020届广东省茂名市高三第一次综合测试数学（文）试题（解析版）

2020届广东省茂名市高三第一次综合测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题意可知，解不等式，得，即，再与集合取交集，即可.

【详解】

又

故选：D

【点睛】

本题考查集合的运算，属于容易题.

2．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（    ）

A．第二象限 B．第一象限 C．第四象限 D．第三象限

【答案】C

【解析】，复数在复平面内对应坐标为，所以复数在复平面内对应的点在第四象限，故选C.

3．在集合和中各取一个数字组成一个两位数，则这个两位数能被4整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】列举出所有可能的两位数，从中找出能被整除的数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】

在和两个集合中各取一个数字组成一个两位数的所有事件为13，31，14，41，15，51，23，32，24，42，25，52共12个，其中能被4整除的两位数是24，32，52共3个，所求概率为.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.

4．已知定义在上的奇函数是单调函数，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数为奇函数，求得的值，由此判断出的单调性，进而得出.

【详解】

∵由奇函数的定义得，∴.

∵是上的单调函数，∴在上单调递减，故.

D选项无法判断.

故选:B.

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

5．已知实数，满足则的最小值为（    ）

A．1 B．3 C．5 D．11

【答案】A

【解析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界点，由此求得目标函数的最小值.

【详解】

画出可行域，由图可知，可行域三个顶点分别为，

，，当直线平移到点时，取到最小值为

.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是(    )（精确到）.（参考数据）

A．3.14 B．3.11 C．3.10 D．3.05

【答案】B

【解析】圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成24个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径，顶角为，根据圆面积，利用三角形面积公式，计算正二十四边形的面积，求解即可.

【详解】

由题意可知，单位圆面积，正二十四边形的面积.

则.

即.

故选：B

【点睛】

本题考查三角形面积公式，属于较易题.

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用两角差的正切公式，求得的值，然后利用“”的代换的方法，将转化为只含的形式，由此求得的值.

【详解】

∵，

∴，

.

故选:D.

【点睛】

本小题主要考查两角差的正切公式，考查齐次方程，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

8．在中，，，且点满足，则（    ）

A．3 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】利用为基底表示出，利用向量数量积的运算求得.

【详解】

依题意是等边三角形，为的

中点，，选取，为基向量，则

，

.

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查平面向量的基本定理，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

9．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.

【详解】

如图所示，由三视图可知，在三棱锥中，

平面，平面底面为等腰三角形，

且底边长为2，高为1，故三棱锥的体积为

.

故选:C.

【点睛】

本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.

10．已知、为双曲线：(，)的左、右焦点，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【解析】设线段的中点为，连接，，则，即，根据双曲线的定义可知，，在中，，即，根据，求解，即可.

【详解】

设线段的中点为，连接，.

线段的中点坐标为

点在双曲线的右支上.

如图所示：

原点为线段的中点

，即，.

由双曲线的定义可知，，即，

在中，，

即，整理得.

故选：C

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，属于中档题.

11．下列函数图象中，函数的图象不可能的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，验证正确. 当时，验证正确. 当时，验证正确.

【详解】

当时，，定义域为关于原点对称.

，则为偶函数.

当时，.

则

即函数在上单调递增，则函数在上单调递减.

此时函数的图象可能为选项.

当时，，定义为且关于原点对称.

，则为偶函数.

当时，.

则

当时，即函数在上单调递减

当时，即则函数在上单调递增.

根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.

当时，，定义为关于原点对称.

，则为奇函数.

当时，.

则

令，则

即并且在上单调递增，并且在上单调递增.

根据对称性可知，此时函数的图象可能为选项.

故选：C

【点睛】

本题考查函数的图象，判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，属于较难的题.

12．已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意易知，时不满足题意.当且时，为开口向上，对称轴为的二次函数，最多两个零点，当且时，，当时单调递增，当时单调递减，最多两个零点，若使得函数有四个零点，则需，求解即可.

【详解】

当时，，函数无零点，舍去.

当且时，

为开口向下，对称轴为的二次函数，

，.

则时，函数与轴只有一个交点.

当且时，.

函数在上单调递增，.

则时，函数与轴无交点.

则当时，函数有一个零点.与题意不符，舍去.

当且时.

为开口向上，对称轴为的二次函数.

，.

函数在最多有两个零点

当且时.

.

当时单调递增，当时单调递减，

函数在最多有两个零点

若使得函数有四个零点，则需.

即，解得.

故选：C

【点睛】

本题考查根据函数零点个数，求参数的取值范围.属于较难的题.

二、填空题

13．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则______.

【答案】－3

【解析】利用直线与直线垂直得到，由此列方程求得的值.或利用圆心到切线的距离等于半径，结合两点间的距离公式列方程，解方程求得的值.

【详解】

依题意直线与直线垂直，所以，即，故.

或利用圆心到切线的距离等于半径得，解得.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查方程的思想，属于基础题.

14．已知数列满足，且，，成等差数列，若，则______.

【答案】

【解析】根据等差中项的性质列方程，由此判断出为等比数列，由等比数列的性质化简求得的值.

【详解】

∵，，成等差数列，∴，即为等比数列，

∴，从而则，又，∴.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查等差中项的性质，考查对数运算，考查等比数列的性质，属于基础题.

15．已知椭圆：（）的右焦点为，直线：与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率为：______.

【答案】

【解析】画出图像，设左焦点为，连接，，根据椭圆对称轴以及，判断出四边形为矩形，利用直线的倾斜角，结合椭圆的定义列方程，化简后求得离心率.

【详解】

如图所示，设左焦点为，连接，，由椭圆的对称性

及，可知为矩形，∴.

由直线得，∴，且，.

椭圆的定义可得，，∴.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆的对称性，考查直线的倾斜角，考查椭圆离心率的计算，属于基础题.

16．已知内角、、所对的边分别为、、，且，则面积的最大值为______.

【答案】

【解析】利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，由此求得三角形面积的最大值.

【详解】

由得，由正弦定理得，

，即，又∵，

∴，∵，∴，又，∴.

∵，由余弦定理得，

由基本不等式式得，，即，

又因为三角形的面积为，当且仅当时，取等号，

故面积的最大值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

三、解答题

17．某学习小组在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是小组成员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

（1）在这个学习小组中负责统计数据的那位同学为了减少计算量，他从这5天中去掉了3月2日与3月28日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出关于的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所去掉的试验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠?

（参考公式：，）（参考数据：，）

【答案】（1）（2）得到的线性回归方程是不可靠的

【解析】（1）利用回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.

（2）用（1）求得的回归直线方程，预测当时，估计数据与实验数据的误差，由此判断出得到的线性回归方程不可靠.

【详解】

（1）由数据得，.

∴，.

∵，∴，由，同理得.

∴，

.

所以关于的线性回归方程为.

（2）当时，，，

当时，，.

所以得到的线性回归方程是不可靠的.

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行检测，考查运算求解能力，属于中档题.

18．如图，在三棱柱中，平面，点是的中点，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）通过证明证得平面，由此证得平面平面.

（2）解法一：利用等体积法计算出点到平面的距离；解法二：在平面内，过作，证得就是点到平面的距离，利用等面积法求得点到平面的距离.

【详解】

（1）证明：∵平面，平面，∴，

∵，是的的中点，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）解法一∵平面，∴是三棱锥的高，

且，

由（1）及已知得是腰长为1的等腰直角三角形，

，

∴，

又，所以，

由（1）得平面，平面，∴，

∴，设点到平面的距离为，

由，得，

∴因此，点到平面的距离为.

解法二：由（1）平面平面，平面平面，

在平面内，过作，则平面，故就是点到平面的距离，

∵平面，∴在中，.

利用等面积得，

因此，点到平面的距离为.

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

19．已知数列满足，.

（1）求，的值

（2）求数列的通项公式；

（3）设，数列的前项和为，求证：，.

【答案】（1）,（2）（3）证明见解析

【解析】（1）根据题目所给已知条件，依次求得的值.

（2）利用“退作差法”求得数列的通项公式.

（3）利用裂项求和法求得数列的前项和为，根据的单调性证得.

【详解】

（1）由

当时，，即.

当时，，解得.

（2）∵①，

∴当时，②

①－②，∴，

由（1），即上式当时也成立.

因此，的通项公式为；

（3）由（2）得，

∴

∵单调递增，∴当时取最小值，

∵，，∴，即.

因此，.

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查数列的单调性，属于中档题.

20．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）过抛物线上的任意一点作抛物线的切线，交抛物线的准线于点.在轴上是否存在一个定点，使以为直径的圆恒过.若存在，求出的坐标，若不存在，则说明理由.

【答案】（1）（2）存在一个定点，使以为直径的圆恒过

【解析】（1）利用抛物线的定义，结合，求得，由此求得抛物线的方程.

（2）首先假设存在一个，使以为直径的圆恒过.设出切线的方程，利用导数建立切线斜率的等量关系式，结合，利用向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得点的坐标，由此证得存在点符合题意.

【详解】

（1）由抛物线定义知，又，

∴，解得，

∴抛物线的方程为.

（2）存在一个，使以为直径的圆恒过.

由（1）得抛物线为，准线方程为.

依题意切线斜率一定存在且不为0，设切线方程为.

设定点为，，，

∵，∴切线斜率，又，

∵，∴，解得.

以为直径的圆恒过定点等价于.

∴，.

∴恒成立.

∴且，解得，存在一个定点，使以为直径的圆恒过.

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的切线、圆的几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查利用导数求解抛物线切线有关问题，考查运算求解能力，属于中档题.

21．设函数，，，

（1）求在处的切线的一般式方程；

（2）请判断与的图像有几个交点?

（3）设为函数的极值点，为与的图像一个交点的横坐标，且，证明：.

【答案】（1）（2）与的图像有2交点（3）证明见解析

【解析】（1）利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.

（2）构造函数，利用导数研究的单调区间和零点，由此判断与的图像的交点个数.

（3）结合（2）以及题意得到，化简得到，利用放缩法以及取对数运算，化简证得成立.

【详解】

（1）由得切线的斜率为，切点为.

∴切线方程为：，

∴所求切线的一般式方程为.

（2）令由题意可知，的定义域为，

且.

令，得，由，得，可知在

内单调递减，

又，且，

故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，

则，当时，，∴在内单调递增；

当时，，∴在内单调递减，

因此是的唯一极值点.

令，则当时，，故在内单调递减，

∴当时，，即，

从而，

又因为，∴在内有唯一零点，

又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.

所以与的图像有2交点；

（3）由（2）及题意，即

从而，即,

∵当时，，又，故,

两边取对数，得，

于是，整理得，命题得证.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究两个函数图像的交点个数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

22．设为椭圆：上任意一点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为上任意一点.

（Ⅰ）写出参数方程和普通方程；

（Ⅱ）求最大值和最小值.

【答案】（Ⅰ）(为参数),（Ⅱ），

【解析】（Ⅰ）根据椭圆的参数方程，(为参数)，直接写出参数方程，再根据，将转化为普通方程，即可.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，圆的圆心，计算，计算与，求解与，即可.

【详解】

（Ⅰ）由题意可得的参数方程为：（为参数），

又∵，且，，

∴的普通方程为，即.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设，圆的圆心，

则

，

∵，

∴当时，；

当时，.

当时，；

当时，.

【点睛】

本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，以及二次函数的最值，属于中档题.

23．已知函数，对，满足.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，使不等式，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据函数的对称性， 确定的图象关于直线对称，求解即可.

（Ⅱ）令，则，根据存在性问题，可知，求解的取值范围即可.

【详解】

（Ⅰ）∵，，∴的图象关于直线对称，

又，∴的图象关于直线对称，

∴.

（Ⅱ）令，由（Ⅰ），

则

因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

∴.

使不等式等价于，即.

解得，即实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查函数的对称性，含绝对值不等式的求解，属于常规题.