2020届广东省深圳市高级中学高三下学期3月线上模拟数学（文）试题（解析版）

2020届广东省深圳市高级中学高三下学期3月线上模拟数学（文）试题

一、单选题

1．不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

对于不等式的解集为，

根据题意，分析选项可得，

A中，为其充要条件，不符合题意；

中，当成立不等式成立，反之若有成立，未必有成立，所以为充分不必要条件，不合题意；

中，当不等式不一定成立，如时，

反之若有成立，则必有成立，为必要不充分条件，符合条件；

中，当不等式不一定成立，如时，

反之若有成立，未必有，如，则为既不充分，又不必要条件，不合题意，

故选．

2．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.

【详解】

对，，因为大小无法确定，故不一定成立；

对，当时，才能成立，故也不一定成立；

对，当时不成立，故也不一定成立；

对，，故一定成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.

3．已知复数，为虚数单位，则（    ）

A． B．

C． D．的虚部为

【答案】B

【解析】计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项.

【详解】

由题：，

所以：，，，的虚部为.

故选：B

【点睛】

此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.

4．已知角的终边过点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义可得，由此得出的值.

【详解】

解：角的终边过点，即，

又，

角的终边在第三象限，则，

，

由，解得．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数定义，属于基础题.

5．已知{}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，设等差数列{}的公差为d，结合题意可得1，，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒数可得a10的值．

【详解】

根据题意，{}是等差数列，设其公差为d，

若a1＝1，a4＝4，有1，，

则3d，即d，

则9d，

故a10；

故选A．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，注意求出{}的公差．

6．在区间上机取一个实数，则的值在区间上的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据正弦函数在上的单调性，求得函数值为所对应的的值，再根据几何概型的求解方法可得选项.

【详解】

因为在上，函数 单调递增，且当 时，，当 时， ，

所以所求概率为，

故选：B.

【点睛】

本题考查正弦函数的求值和几何概型的问题，属于基础题.

7．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（   ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】由为幂函数，即可得到的值，计算出，且经过的定点，代入中，即可得到的值．

【详解】

由于为幂函数，则，解得：，

函数，且，当时， ，故 的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故答案选B

【点睛】

本题考查幂函数的定义以及函数恒过点点的问题，属于基础题．

8．在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点有(    )个

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值即该点的斜率，求出切点的横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数.

【详解】

由于切线的倾斜角小于，所以斜率.

设切点坐标为，则

从而

故选：B

【点睛】

本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是个基础题.

9．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可

【详解】

由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为；

乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99    （x≤y）；

∵甲，乙中位数相同；

∴90+x＝91⇒x＝1；   乙的平均数为；

∵乙的平均成绩低于甲；

∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．

∴乙的平均成绩低于甲的概率p；

故选：A．

【点睛】

本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．

10．设平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据与的夹角为锐角，得到，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示出来，得到关于的不等式，解出的范围，从而得到答案.

【详解】

因为与的夹角为锐角，

所以，

向量，，

所以，

整理得，，

所以的范围为.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题.

11．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】C

【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．

【详解】

解：设，则．

，，，，

，同理，

其中，

，当时，，．

故选：C．

【点睛】

本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．

12．已知函数，若刚好有两个正整数使得，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】把刚好有两个正整数使得转化为两个函数的位置关系问题，利用导数分析函数的单调性，并画出简图，的图象过定点的直线，结合图象得到实数的取值范围.

【详解】

令

且，

因为刚好有两个正整数使得，即

作出的图象，如图所示，其中过定点，直线斜率为，

由图可知，时，

有且仅有两个点满足条件，

即有且仅有使得.

实数的取值范围是，

故选：A

【点睛】

本题考查函数综合，考查学生的综合分析能力，转化与划归，数学运算能力，属于较难题.

二、填空题

13．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入,时，输出的_______.

【答案】18

【解析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可

【详解】

模拟程序框图的运行过程，如下：

，

执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；

执行循环体：，不满足退出循环的条件，继续；

执行循环体：，满足退出循环条件，退出循环，输出的值为18

答案：18

【点睛】

本题考查程序框图，注意模拟程序框图的运行过程，属于基础题

14．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.

【答案】

【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.

【详解】

圆心坐标，半径

要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，

此时最小值为圆心到直线的距离，

此时，

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

15．底面为正方形的直四棱柱中，，，点E是的中点则异面直线与所成角的大小为________．

【答案】

【解析】取BC中点为F，将直线EB平移至，找到夹角，在三角形中求解即可.

【详解】

根据题意，取BC中点为F，连接，作图如下：

在四边形中，

因为//，且=BF

故该四边形为平行四边形，

则//，

故为直线与BE所成角或其补角.

在中，根据题意可知

由余弦定理可得：

又异面直线夹角的范围为：

故

即直线与所成角的大小为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面直线夹角的求解，关键的步骤是平移至直线相交，再在三角形中求解角度.

16．已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右顶点分别为，，若，则双曲线的离心率为_____.

【答案】或

【解析】解出点的坐标，用两点间距离公式求出，化简整理出的关系式，从而求得离心率．

【详解】

若渐近线的方程为，则点的坐标为.

因为，所以，则，所以，

从而.

若渐近线的方程为，则点的坐标为，同理可得.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.

三、解答题

17．在公差d的等差数列中，，，，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，，成等差数列，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意可得，或，，再由等差数列的通项公式可得所求；

（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求得，再由裂项相消求和即可得解．

【详解】

解：（1）∵，，，且，∴或

当时，；当时，.

（2）∵，，成等比数列，∴

即，化为或，

由（1）可得，，

∴，

则，

故.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题．

18． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）.

【解析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；

（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；

（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.

【详解】

（I）证明：连接，易知，，

又由，故，

又因为平面，平面，

所以平面.

（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，故，

又已知，，

所以平面.

（III）解：连接，由（II）中平面，

可知为直线与平面所成的角.

因为为等边三角形，且为的中点，

所以，又，

在中，，

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.

19．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．

（Ⅰ）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考）

（Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在岁之间的概率．　

（参考公式：，其中）

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布表写出列联表，代入公式计算即可.

（Ⅱ）根据古典概型计算公式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）

由上表可知，有的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关．

（Ⅱ）设事件为三名幸运选手中恰好有一人在岁之间，由已知得岁之间的人数为2人，岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件的结果是种，故3名幸运选手中恰好一人在岁之间的概率是．

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法

(1)列举法.

(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

20．已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.

【详解】

（1）设动圆P的半径为r，

因为动圆P与圆M外切，所以，

因为动圆P与圆N内切，所以，

则，

由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，

设椭圆方程为，

则，，故，

所以曲线C的方程为.

（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，

联立，

得，

设点，则，

，

所以，

即，

得.

则，

因为，所以.

即，

直线，

所以直线l过定点.

②当直线l斜率不存在时，设直线，且，

则点

，

解得，

所以直线也过定点.

综上所述，直线l过定点.

【点睛】

本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.

21．已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）当时，有两个极值点，

①求的取值范围：

②若的极大值小于整数，求的最小值.

【答案】（1）在，单调递减；（2）①；②

【解析】（1）求出函数的导数，即可得到函数的单调性；

（2）①依题意，有两个负根，令，利用导数研究的单调性，即可得到，解得即可.

②由①可知：，，∴，使得，则，即为的极大值点，求出极大值的取值范围，即可得解.

【详解】

解：（1）由题意，，当时，，，∴在，单调递减；

（2）①当时，，有两个负根，

令，，

∴，，，，

即在单调递减，在单调递增，

，，且，∴有两个负根只需，

②由①可知：，，∴，使得，则，即，

且在，，，单增，

在，，，单减，

∴为的极大值点，

，，

，∴单增，∴，

∴.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，零点及极值，属于中档题.

22．在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.

【答案】（1） ； （2） 或.

【解析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.

【详解】

（1）因为直线的参数方程为（为参数），

当时，直线的直角坐标方程为．

当时，直线的直角坐标方程为．

因为，

因为，所以．

所以的直角坐标方程为．

（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．

因为，可设该方程的两个根为，，

则 ，．

所以 ．

整理得，

故．

因为，所以或，

解得或

综上所述，直线的倾斜角为或．

解法2：直线与圆交于，两点，且，

故圆心到直线的距离．

①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意．

②当时，直线的方程为．

所以，整理得．

解得．

综上所述，直线的倾斜角为或．

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.

23．    已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].

【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围

试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．                 6分

（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|

－2－a≤x≤2－a，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．

【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数