2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（理）试题（解析版）
展开2020届广西桂林市高三第一次联合调研考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】计算，再计算得到答案.
【详解】
.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集的运算，意在考查学生的计算能力.
2．若复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】化简得到，再计算模长得到答案.
【详解】
，.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的化简和求模，意在考查学生的计算能力.
3．人体的体质指数（）的计算公式：体重身高（体重单位为，身高单位为）.其判定标准如下表：
以上 | ||||
等级 | 偏瘦 | 正常 | 超标 | 重度超标 |
某小学生的身高为，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得，体重身高，代入数据即可求解.
【详解】
由题意得，体重身高，
因为此人属于正常，所以
所以此小学生的体重范围为，
即体重范围为，
故选：C
【点睛】
本题考查推理与证明，考查推理论证能力以及估算思想.
4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出.
【详解】
对于A，，则，故排除A；
对于B，，则与相交或，故排除B；
对于C，，则，故排除C；
对于D，，则；
反之，若，与的位置关系不确定，
当时，或 ，
故的一个充分不必要条件，故D正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查直线、平面的平行与垂直的判断、充分条件与必要条件的判断等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、转化与化归能力，属于基础题.
5．设满足约束条件，则目标函数的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点
时，求出最大值即可.
【详解】
作出变量满足约束条件的可行域如图：
由，可得，
所以动直线的纵截距取得最大值时，
目标函数取得最大值.
由得，
结合可行域可知当动直线经过点时，
目标函数取得最大值.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域、理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代乙种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（ ）钱？
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】
设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为，公差为，
则，即，解得，
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
7．已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】结合图像，判断函数的性质即可求解.
【详解】
从图像可知，函数为偶函数，
对于A，
，排除A；
对于B，
，排除B；
和其定义域均为，
当从的右侧趋近时，，，
即，结合图像排除D项，
故选：C
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，注意从函数的性质进行深入分析，考查了函数的性质，属于基础题.
8．已知是锐角，向量，满足，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】可得，故，得到答案.
【详解】
由可得，则，即，又是锐角，.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用圆台的结构特征求出其外接球的半径，再利用球的体积公式即可求解.
【详解】
由三视图知，该几何体是一个圆台，
圆台的上底面半径为1，下底面半径为，圆台的高为，
设圆台的外接球半径为，如图：
则，解得，
外接球的体积为.
故选：B
【点睛】
本题考查了旋转体的外接球问题以及球的体积公式，需熟记公式，属于基础题.
10．已知函数，将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】化简，得到，得到，计算得到答案.
【详解】
，
经过变换后得到函数，
则的值域为，又，
.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角函数化简，平移伸缩变换，值域，意在考查学生的综合应用能力.
11．已知双曲线是的左右焦点，是双曲线右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义可得，代入，利用基本不等式即可求解.
【详解】
由双曲线的定义知
，
当且仅当时取等号
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的定义以及基本不等式求最值，注意利用基本不等式时，验证等号成立的条件，属于基础题.
12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，令，计算函数的单调性，得到，计算得到答案.
【详解】
，令，则，
故当时，，单调递减，当时，单调递增，，从而当时，，在区间上单调递增.
设，
则在上单调递减，在上单调递增，，
存在，使成立，等价于.
，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键.
二、填空题
13．二项式展开式中的常数项为240，则实数的值为________.
【答案】
【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
，由得，
解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.
14．已知等比数列中，，则________.
【答案】
【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由题意可得，解得，
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
15．已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.
【答案】
【解析】根据题意求出，设出直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立消求交点的横坐标，由，可得，代入交点的横坐标即可求解.
【详解】
椭圆，则，，则，即，
所以
根据题意可得直线的斜率存在，设直线的斜率为，
直线的方程为：
则，消可得，
解得
设，
因为，所以，整理可得
由，
代入可得，解得.
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.
16．已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】化简，画出函数图像，根据图像计算得到答案.
【详解】
，
取，即，画出函数图像，根据图像知：
，即，取.
故或（舍去），即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，画出函数图像是解题的关键.
三、解答题
17．在锐角中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求证：；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用正弦定理边化角可得，再利用两角和的正弦公式以及三角形的性质即可求解.
（2）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用余弦定理结合（1）即可得出，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）证明：由正弦定理有
得，
有
得，由，可得，
由正弦定理得
（2）由题意有
由余弦定理有，得，代入，
解得：
故的面积为
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，需熟记定理与公式，属于基础题.
18．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（） | 400 | 500 |
概率 |
作物市场价格（元/） | 5 | 6 |
概率 |
（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列（利润产量市场价格成本）；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间的概率.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】（1）所有可能的取值为，计算概率得到分布列.
（2）每一季利润在区间的概率为，计算得到答案.
【详解】
（1）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为5元/”，
由题设知，利润产量市场价格成本.
所有可能的取值为
，
，
，
，
，
，
的分布列为：
1000 | 1400 | 1500 | 2000 | |
（2）每一季利润在区间的概率为，
故3季中的利润都在区间的概率为.
【点睛】
本题考查了分布列和概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．如图，在长方体中，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）如图，连相交于点，连，证明得到答案.
（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的法向量为，计算夹角得到答案.
【详解】
（1）证明：如图，连相交于点，连，
，
四边形为平行四边形，可得，
平面，平面，平面.
（2）如图，以点为坐标原点，向量方向分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.
各点坐标分别为，.
设平面的法向量为，
有，取，有；
设平面的法向量为，
有，取，有；
有，
故平面与平面所成二面角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
20．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在实数，且，使得函数在区间的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；
【解析】（1）求导，讨论和两种情况，计算得到答案.
（2）讨论，，，四种情况，分别计算得到答案.
【详解】
（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数的增区间为
②当时，令可得，故函数的增区间为，减区间为.
（2）①当时，得舍去；
②当时，得符合题意；
③当时，由，不合题意；
必有，可得，
令，故函数单调递增，
又由，故当时，，不存在这样的；
④当时，，得舍去；
综上所述：满足条件的值为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，根据值域求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.
21．已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）利用圆与抛物线的对称性可知，点在抛物线和圆上，代入方程即可求解.
（2）设直线的方程为，点的坐标分别为，将抛物线与直线联立，分别消，再利用韦达定理可得两根之和、两根之积，根据向量数量积的坐标运算可得，的面积为
即可求解.
【详解】
（1）由圆及抛物线的对称性可知，点既在抛物线上也在圆上，
有：，解得
故抛物线的标准方程的
（2）设直线的方程为，
点的坐标分别为.
联立方程，消去后整理为，
可得，
联立方程，消去后整理为，
可得，，得
由有，，
，可得
的面积为
可得，有或
联立方程解得或，又由，
故此时直线的方程为或
联立方程，解方程组知方程组无解.
故直线的方程为或
【点睛】
本题考查了待定系数法求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，考查了学生的计算能力，属于难题.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）消参可得直线的普通方程，由 可求出曲线的直角坐标方程.
（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及辅助角公式即可求解.
【详解】
（1）直线的普通方程为
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
（2）曲线的参数方程为
设点的坐标为
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.
23．设，且.
（1）求证：；
（2）若，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用基本不等式和不等式的可加性，以及完全平方式，即可得证.
（2）利用完全平方式和不等式的可加性，以及基本不等式，即可证出.
【详解】
（1）由
，
（当且仅当时取等号）
故有
（2）
由，有
故当时，.
【点睛】
本题考查了不等式的证明，考查了基本不等式以及不等式的性质，属于中档题.
