2020届广西南宁市第二中学高三3月模拟数学（理）试题（解析版）

2020届广西南宁市第二中学高三3月模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知实数集,集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求函数的定义域求得集合，根据交集的概念和运算求得的值.

【详解】

由题意得，故.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.

2．复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】利用复数除法、复数乘方运算化简，进而求得，由此确定正确选项.

【详解】

由于，所以

，

所以，对应的点为在第四象限.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的乘方，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.

3．给出如下四个命题：①若“p且”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a>b，则”的否命题为“若a≤b，则”；③“∃x∈R，的否定是“”；④在△ABC中，“A>B”是“”的充要条件；其中正确的命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】根据含有逻辑联结词命题真假性的知识，判断①的正确性.根据否命题的知识，判断②的正确性.根据特称命题的否定的知识，判断③的正确性.根据充要条件的知识，判断④的正确性.

【详解】

对于①，由于“且”为假命题，所以，中至少有一个假命题，故①错误.

对于②，否命题否定条件和结论，故②正确.

对于③，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，③正确.

对于④，由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，故④正确.

综上所述，正确的命题个数是个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查含有逻辑联结词命题真假性，考查否命题，考查特称命题与全称命题，考查充要条件的判断，属于基础题.

4．如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（　　）

A．2

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】试题分析：将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中，由余弦定理可得

【考点】1.翻折问题；2.空间距离

5．已知函数的值域是全体实数R，则实数m的取值范围是（    ）

A．(-4，+∞) B．[- 4，+∞) C．(-∞，-4) D．(-∞，-4]

【答案】D

【解析】根据的值域是全体实数，以及，求得实数的取值范围.

【详解】

由于.要使函数的值域是全体实数R，则需，解得.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据对数型复合函数的值域求参数的取值范围，考查基本不等式求最值，属于基础题.

6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.

【详解】

由函数的部分图象,
可得,
再根据五点法作图可得，

，
因为上，且，

所以,
，，故选A.

【点睛】

本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.

7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可

【详解】

由题可知，，，则

解得，由可得，

答案选A

【点睛】

本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功

8．已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】C

【解析】利用正弦定理化简已知条件，由此判断出的轨迹经过重心.

【详解】

设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，

所以，

根据向量加法的几何意义可知：表示以为邻边的平行四边形的对角线，

此对角线与三角形中线重合，所以在三角形的中线上，也即点的轨迹一定通过三角形的重心.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查正弦定理的运用，考查向量加法的几何意义，属于中档题.

9．执行如图的程序框图，则输出的值为（    ）

A．1 B． C． D．0

【答案】D

【解析】由图知本程序的功能是执行

此处注意程序结束时，由余弦函数和诱导公式易得：

，周期为，

.

10．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

从的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从到的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共次.所以从到的最近的行走线路，总的方法数有种.

不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：.

所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题.

11．已知函数f(x)满足： f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a> b> c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a

【答案】B

【解析】根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.

【详解】

由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.

12．已知双曲线的左右顶点分别为， 是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点， 为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】设，因为，所以，直线方程为，令得， ，即，同理得，由于成等比数列，则，即， 是双曲线上的点，则，所以，即，所以， ，而，从而， ，所以，故选A．

点睛：解析几何中如果涉及到直线与圆的问题可以用几何方法外，在直线与圆锥曲线问题中，一般都是用代数方法，即设出特殊点的坐标，设出或写出直线方程，联立方程组本题是求得交点坐标（许多时候是用韦达定理），求出线段长，这样可把已知条件“成等比数列”代数化，即，结合点是双曲线上的点，可化简此式得，而要求离心率的取值范围，就要得到关于的一个不等关系，观察已知有，从而，结论易得．

二、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，则_____.

【答案】8

【解析】由已知求得，再由得答案．

【详解】

随机变量服从正态分布，，

则．

故答案为8

【点睛】

本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题．

14．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线的极大值点为b，极小值点为c，则ad=____

【答案】

【解析】根据等比数列的性质得到，利用导数求得的极大值点和极小值点，也即求得，从而求得的值.

【详解】

根据等比数列的性质可知.由，，所以曲线在区间上递减，在区间上递增.所以极大值点为，极小值点为，所以.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查等比数列的性质，考查利用导数求曲线的极值点，属于基础题.

15．若则在的展开式中，含x项的系数为___

【答案】

【解析】利用定积分求得的值，根据乘法分配律，结合组合数的计算，求得含项的系数.

【详解】

依题意，解得.所以即.由于

，

根据乘法分配律可知，含项的系数由一个和四个常数相乘而得，所以含项为，所以含项的系数为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查定积分的计算，考查多项式展开式指定项的系数，属于中档题.

16．数列满足若不等式对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为___

【答案】

【解析】根据递推关系式求得数列的通项公式，利用裂项求和法求得的值，进而求得实数的最小值.

【详解】

，令，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.所以，所以

.

依题意对任何正整数恒成立，即，所以，所以的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查有关数列不等式恒成立问题的求解，属于中档题.

三、解答题

17．近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力发展实体经济，工业取得突飞猛进的发展.逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制糖、铝深加工等为主的4大支柱产业.广西洋浦南华糖业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示，已知.

（1）求出q的值；

（2）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程；

（3）用表示用（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的数学期望Eξ.

(参考公式：线性回归方程中的最小二乘估计分别为：

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用列方程，由此求得的值.

（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.

（3）求得，以及残差的绝对值，利用超几何分布分布列的计算公式，计算出的分布列，并求得数学期望.

【详解】

（1）依题意，解得.

（2）依题意，，.所以.

（3）列表得：

所以，“好数据”有三个.于是的可能取值为.

，，，.所以数学期望为.

【点睛】

本小题主要考查平均数有关计算，考查回归直线方程的计算，考查残差的计算，考查超几何分布，考查数据处理能力，属于中档题.

18．如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．.

（I）求道路BE的长度；

（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）连结,内，可根据余弦定理求,从而可以判断和的形状，在内根据勾股定理求;（Ⅱ）设,,,在内，根据正弦定理，表示,,利用三角函数的有界性，得到长度和的最大值.

试题解析：（Ⅰ）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD＝1+1﹣2×1×1×（）＝3，

∴BD，

∵BC＝CD，

∴∠CDB＝∠CBD30°，

又∵∠CDE＝120°，

∴∠BDE＝90°，

∴在Rt△BDE中，BE2．

（Ⅱ））设∠ABE＝α，∵∠BAE＝60°，∴∠AEB＝120°﹣α，

在△ABE中，由正弦定理，可得：，

∵4，

∴AB＝4sin（120°﹣α），AE＝4sinα，

∴AB+AE＝4sin（120°﹣α）+4sinα

＝4（）+4sinα

＝2cosα+6sinα

＝4sin（α+30°），

∵0°＜α＜120°，

∴30°＜α+30°＜150°，

∴当α+30°＝90°，即α＝60°时，AB+AE取得最大值4km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4km．

【考点】1.正余弦定理；2.三角函数的性质.

19．如图,已知长方形中,,为的中点. 将沿折起,使得平面平面.

(1)求证: . 

(2)点是线段上的一动点,当二面角大小为时,试确定点的位置.

【答案】（1）见解析；（2）当E位于线段DB之间,且

【解析】（1）取AM的中点O,AB的中点N,则两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 写出坐标，证明即可；

（2）根据，设出点E的坐标，利用平面法向量的数量积求解出，进而得出比值，得到结论．

【详解】

解：取AM的中点O,AB的中点N,则两两垂直,

以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

如图,根据已知条件,得,,,

 (1)由于

则,故.

(2)设存在满足条件的点E,并设,

则

则点E的坐标为.(其中)

易得平面ADM的法向量可以取,

设平面AME的法向量为,

则,

则

解得，取

由于二面角大小为,

则，

由于,故解得.

故当E位于线段DB之间,且时,二面角大小为 .

【点睛】

本题考查了利用空间向量证明立体几何中异面直线的垂直问题、二面角的问题，解题的前提是要能建立出空间坐标系，正确写出各个点的坐标，理清法向量的夹角与二面角的关系是解题的关键，还考查了学生的计算能力．

20．已知，是轴正半轴上两点（在的左侧），且，过，作轴的垂线，与抛物线在第一象限分别交于，两点.

（Ⅰ）若，点与抛物线的焦点重合，求直线的斜率；

（Ⅱ）若为坐标原点，记的面积为，梯形的面积为，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）.

【解析】(Ⅰ)先由题意得出点坐标，进而可得，，点坐标，再由斜率公式即可求出结果;

(Ⅱ)先设直线的方程为：，，，再联立直线与抛物线方程吗，根据根与系数关系和弦长公式表示出，由点到直线距离公式表示出点到直线的距离，从而可表示出，，进而可求出结果.

【详解】

（Ⅰ）由，则，，则，

又，所以.

（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，

由，得，

所以，得，

又，，由，，可知，，

由，

点到直线的距离为，所以.

又 ，

所以，

因为，所以.

【点睛】

本题主要考查抛物线的简单性质，以及直线与抛物线位置关系，属于中档试题.

21．(本小题满分12分)

已知函数（其中a是实数）．

（1）求的单调区间；

    （2）若设，且有两个极值点 ，，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

【答案】（1）详见解析（2） ，

【解析】【详解】试题分析：(1)求出的定义域，，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出的单调区间.

(2)推导出，令，，则恒成立，由此能求出的取值范围

试题解析：（1） (其中是实数)，

的定义域，，

令，=-16,对称轴，，

当=-160，即-4时，，

函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

当=-160,即或

若，则恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间．

若4，令，得

=，=，

当(0,)(,+时，当（）时，

的单调递增区间为（0，），（），单调递减区间为（）

综上所述当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时，的单调递增区间为（0，）和（），单调递减区间为（）

(2)由(1)知，若有两个极值点，则4，且，，又，，，，

又，解得，

令， 则恒成立

在单调递减，，

即

故的取值范围为

点睛：在含有参量的导数求单调区间需要进行分类讨论，将所有的情况讨论完整．在求范围时往往要把参量消去，然后根据范围求出结果．

22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ= 4cosθ，直线l的参数方程为(t为参数).

（1）求曲线的直角坐标方程及直线l的普通方程；

（2）若曲线的参数方程为(α为参数)，曲线上点P的极角为Q为曲线上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的转换公式，求得的直角坐标方程；消去直线参数方程中的参数，求得直线的普通方程.

（2）求得点的直角坐标，由此求得点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得到直线距离的最大值.

【详解】

（1）由得，即.

由消去得.

（2）令，则，所以，对应的直角坐标为，即.依题意，所以，点到直线的距离为

，从而最大值为.

【点睛】

本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数方程化为普通方程，考查点到直线距离的最值的求法，属于中档题.

23．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】【详解】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．

试题解析：（1）当时，不等式等价于.①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以的取值范围为.

点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：

(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．