2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（理）试题（解析版）

2020届广西玉林市高三第一次适应性考试数学（理）试题  一、单选题1．已知集合，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解出集合中的一次不等式即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.2．设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3．若实数满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．5 D．10【答案】B【解析】作出可行域，作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小【详解】作出可行域如图所示：作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小的最小值为4故选：B【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单.4．已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先算出，然后利用即可算出答案【详解】由，得所以故选：A【点睛】本题考查的是三角函数的平方关系及和差公式，较简单.5．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在35～75之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标. 如图是某市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由图易知，第天空气质量为一级，共4天，然后即可求出答案【详解】由图易知，第天空气质量为一级，共4天，故所求事件的概率为故选：A【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.6．设a为正实数，函数，若，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先利用导数判断出在上单调递减，然后解出不等式即可【详解】由得所以当时，所以函数在上单调递减所以只需即可，即解得：故选：A【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及解决恒成立问题，较简单.7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件得出，，，然后利用双曲线的定义建立方程求解即可【详解】由线段的中点为D ，得因为的斜率为，所以可得所以所以由双曲线的定义可得所以故选：C【点睛】本题考查的是双曲线的定义及离心率的求法，较简单.8．如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为，连接，然后证明为MN与平面SAD所成角,然后，然后求出的最小值即可【详解】设的中点为，连接因为，所以因为平面，所以，所以平面所以为MN与平面SAD所成角，即设，则，，的最小值为到的距离，等于所以的最大值为故选：A【点睛】本题考查的是线面角的知识，作出辅助线，找出线面角是解题的关键.9．过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设切点为，利用导数求出切线的方程，然后将点代入，解出，然后即可算出答案.【详解】由得设切点为，则切线的斜率为所以切线方程为：因为切线过点，所以，解得所以切线方程为： 令，可解得故选：B【点睛】本题考查的是导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于中档题.10．已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（    ）A．8 B．10 C．14 D．28【答案】C【解析】过点作,垂足为，设，然后由条件可得，，，解出，然后算出答案即可【详解】作出图形如下：过点作,垂足为，设因为，所以，由抛物线的定义，，所以，即四边形的面积为故选：C【点睛】本题考查的是抛物线的定义，较简单.11．已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小【详解】设，因为是奇函数，所以是偶函数当时，所以在上单调递增因为，所以，即故选：C【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.12．已知函数的一个零点是，当时函数取最大值，则当取最小值时，函数在上的最大值为（    ）A． B． C． D．0【答案】D【解析】由条件可得，，即，，将两式相减可得：，然后求出和【详解】由条件可得：，所以，将两式相减可得：，所以的最小值为4此时，因为，所以所以因为，所以所以函数在上的最大值为0故选：D【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，由条件求出和是解题的关键，属于中档题.  二、填空题13．在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值____________．【答案】1【解析】由得，由是方向相反的单位向量得，，然后即可算出答案【详解】由得即因为是方向相反的单位向量，所以，所以，即故答案为：1【点睛】本题考查的是平面向量数量积的有关计算，较简单.14．设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为____________．【答案】【解析】由得，结合余弦定理可推出【详解】因为所以由余弦定理得所以，即因为，所以故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.15．已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．  【答案】【解析】由三视图画出几何体的直观图即可【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下： 其体积为：故答案为：【点睛】本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.16．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来估计π的值．假设统计结果是，那么可以估计的近似值为____________．（用分数表示）【答案】【解析】由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且，面积为，然后即可建立方程求解【详解】由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且面积为因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数所以，所以故答案为：【点睛】本题考查的是几何概型中的面积型的应用，较简单. 三、解答题17．水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一般有直播、撒酒两种方式．为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验．其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种．得到数据如下表：     产量（单位：斤） 播种方式[840，860）[860，880）[880,900）[900,920）[920,940）直播48183931散播919223218 约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关？ 产量高产量低合计直播   散播   合计    附：P（K2≥k0）0.100.0100.001k02.7066.63510.828  【答案】（1）100块直播农田的平均产量为907斤，（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关.【解析】（1）根据，算出答案即可（2）由题目中给的数据完善列联表，然后算出的观察值即可【详解】（1）100块直播农田的平均产量为：（斤）（2）由题中所给的数据得到列联表如下所示： 产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计12080200 由表中的数据可得的观察值所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关【点睛】本题考查的是平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.18．已知数列{an}满足，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见详解，，（2）【解析】（1）由得，然后，即可算出答案（2），然后即可求出【详解】（1）因为，所以即数列是以首项为2，公差为3的等差数列所以所以（2）由得所以【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法19．如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解，（2）【解析】（1）证明和即可（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量可取为：，然后即可算出答案【详解】（1）因为侧棱平面，所以平面平面又，平面平面，所以平面而平面，所以因为，侧棱平面，所以四边形是正方形所以，又，所以平面（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设平面的法向量为，又，则，求得，令得由（1）中可得平面的法向量可取为：所以故二面角的正弦值为【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法20．已知椭圆C：（0＜b＜2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦．（1）求面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标．【答案】（1），（2）证明见详解，定点的坐标为.【解析】（1）先由条件得出，，然后的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，，然后即可分析出答案（2）设，将代入得，则有，然后可推出，当，时斜率的和恒为0，然后解出即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则由得，所以又由的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，由是过椭圆的中心的弦，则点到轴的距离也为所以和的面积相等，所以因为的最大值为，所以的最大面积为（2）由（1）知椭圆设将代入得则有直线AM与直线BM的斜率之和：为与无关的常数，可知当，时斜率的和恒为0，解得或（舍）综上所述：所有满足条件的定点的坐标为【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数的两个极值点，若，①证明：；②证明： ．【答案】（1）情况较多，见详解，（2）证明见详解【解析】（1）求出，然后分，，三种情况讨论（2）①由即可证明；②用分析法得到要证原命题即证，然后设，利用导数得到在单调递减，结合可得当时，当时，然后即可证明.【详解】（1）由已知①当时，，所以，所以函数在上单调递增②当时，在上有两不等正实数根记当时，，单调递增当时，，单调递减当时，，单调递增③当时，所以当时，，单调递减当时，，单调递增（2）①的定义域为，有两个极值点则在上有两个不等正根由（1）中可得因为，所以，所以②原命题即证明当且，时成立即证，即证即证，即证设则当时，在单调递减因为，所以当时，当时又因为时，当时所以，原命题得证【点睛】1.解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小、根在不在给的范围内.2.本题考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于较难题.22．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足| ，记点N的轨迹为曲线C．（1）①设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线的参数方程②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值【答案】（1）①直线的参数方程为（为参数），②曲线C的极坐标方程为，直角坐标方程为：；（2）【解析】（1）①由题意可得直线的参数方程为（为参数），②设，由题意可得，由可得（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程中得：，化简得，设为方程的两个根，则，然后利用算出即可.【详解】（1）①由题意可得直线的参数方程为（为参数）即（为参数）②设，由题意可得因为点在直线上，所以所以，即所以，所以曲线C的直角坐标方程为：（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程中得：，化简得设为方程的两个根，则所以【点睛】本题考查了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中档题.23．己知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.【答案】（1）不等式的解集为，（2）证明见详解【解析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出，即可得到，然后，用基本不等式即可证明.【详解】（1）等价于或或解得或或所以不等式的解集为（2）因为当时等号成立，所以的最小值为3，即所以所以当且仅当时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.