2020届广西壮族自治区柳州市一模数学（文）试题（解析版）

2020届广西壮族自治区柳州市一模数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解出集合、，再利用并集的定义可得出集合.

【详解】

，解不等式，得，.

因此，.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题.

2．若复数满足，其中为虚数为单位，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，，所以，故选：A.

【考点】复数的概念与运算.

3．为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(    )

A．简单随机抽样    B．按性别分层抽样

C．按年龄段分层抽样    D．系统抽样

【答案】C

【解析】我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大. 了解某地区的“微信健步走”活动情况，，按年龄分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．

4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三视图知，该几何体为直四棱锥，底面是边长为的正方形，且高为，计算出底面外接圆的直径，利用公式可计算出外接球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.

【详解】

由三视图知，该几何体为直四棱锥，底面是边长为的正方形，且高为，

则底面外接圆直径为，

设该几何体的外接球半径为，则，.

因此，该几何体外接球的表面积为.

故选：B.

【点睛】

本题考查简单几何体外接球表面积的计算，要结合三视图得出简单几何体的结构，并选择合适模型进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

5．已知，并且成等差数列，则的最小值为（  ）

A．2 B．4 C．5 D．9

【答案】D

【解析】∵成等差数列，

，

当且仅当a=2b即时“=“成立，

本题选择D选项.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

6．函数在处有极值10，则点为（　　）

A． B．

C．或 D．不存在

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点,符合,故选B

【考点】1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.

【易错点睛】

本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.

7．设、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，，，，则；

②若，，则；

③若，是两条异面直线，，，，且，则；

④若，，，，，则.

其中正确命题的序号是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【解析】根据线面平行的性质定理以及空间中平行直线的传递性可判断出命题①的正误；根据面面关系可判断出命题②的正误；利用线面平行的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理可判断出命题③的正误；根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理可判断出命题④的正误.

【详解】

对于命题①，，，，由直线与平面平行的性质定理可得，

，，由平行线的传递性可知，命题①正确；

对于命题②，，，则平面与平面平行或相交，命题②错误；

对于命题③，过直线作平面，使得，，，，

，，，若，根据平行线的传递性可得，这与题意矛盾，

又、，，，，又，、，，

命题③正确；

对于命题④，，，，，但、不一定垂直，则与不一定垂直，所以与也不一定垂直，命题④错误.

因此，正确的命题序号为①③.

故选：A.

【点睛】

本题考查线面关系、面面关系有关命题的判断，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查推理能力，属于中等题.

8．某种产品的广告费支出与销售额之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出关于的线性回归方程为，则表中的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】

根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，得到的值为.

故答案为：B.

9．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【详解】试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而

，∴，故选B.

【考点】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.

【名师点睛】

本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序

框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.

10．设函数，则，则（　　）

A．在单调递增，其图象关于直线对称

B．在单调递增，其图象关于直线对称

C．在单调递减，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】D

【解析】,

由得，再由,所以.

所以y=f(x)在在单调递减,其图象关于直线对称,故选D.

11．若定义在R上的偶函数满足，且时, ，则函数的零点个数是(  )

A．6个 B．8个 C．2个 D．4个

【答案】D

【解析】先根据奇偶性和周期性作出f(x)在R上的图象，再在同一个坐标系中作出 的图象，根据两图像交点个数即可得出h(x)的零点个数。

【详解】

解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），

∴满足f（x+2）＝f（x），

故函数的周期为2．

当x∈[0，1]时，f（x）＝x，

故当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝-x．

函数h(x)＝f（x）﹣的零点的个数等于函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象的交点个数．

在同一个坐标系中画出函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象，如图所示：

显然函数y＝f（x）的图象与函数y＝的图象有4个交点，

故选：D．

【点睛】

本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想．

12．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，

即 ，又因为为双曲线，则 ，故选B.

【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.

二、填空题

13．若，则=_________________

【答案】

【解析】分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．

详解：由已知，

∴．

故答案为．

点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．

14．一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为    

【答案】

【解析】【详解】

依题意,作图如图，
,

在中,，

设,
根据正弦定理得:,
即,

，
答:这时船与灯塔的距离为,

故答案为

15．已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．

【答案】.

【解析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，求出的垂直平分线方程，令，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程.

【详解】

由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为.

【点睛】

本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

16．在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为        ．

【答案】

【解析】在等腰梯形ABCD中,由,得,,,所以

.【考点】平面向量的数量积.

三、解答题

17．设正项等比数列且的等差中项为．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．

（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．

【详解】

（1）设等比数列的公比为，

由题意，得，解得，

所以.

（2）由（1）得，

∴，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．

18．目前，青蒿素作为一线抗疟药品得到大力推广某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：

（1）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；

（2）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为，，根据样本数据，试估计与的大小关系（只需写出结论）；

（3）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取株，记这株的产量总和为，求的概率.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由山下试验田株青蒿样本青蒿素产量数据，能求出样本平均数和山下试验田株青蒿的青蒿素产量的估计值；

（2）比较山上、山下单株青蒿样本青蒿素产量数据的离散程度，可得出、的大小关系；

（3）记事件，列出表格得出从山上与山下青蒿中各随机选取株的青蒿素产量总和，从表格中得出基本事件的总数，并得出事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.

【详解】

（1）由山下试验田株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数，

则山下试验田株青蒿的青蒿素的总产量估算为：；

（2）由样本中山上、山下单株青蒿素产量的离散程度知；

（3）记为事件，列表：

由上表可以看出，这株的产量总和的所有情况共有种，

而其中的情况共有种，故：.

【点睛】

本题考查平均数的计算、以及方差与样本稳定性之间的关系，同时也考查了古典概型概率的计算，考查学生收集数据和处理数据的能力，属于中等题.

19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，，侧面底面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，且三棱锥的体积为，求侧面的面积.

【答案】(1)见解析;(2) 的面积为

【解析】试题分析：

（1）根据题意证得，再由面面垂直的性质可得平面，从而可得平面平面。（2）过点作交的延长线于点，则得底面, 令，则，可得,由三棱锥体积为,可得到,计算可得中，，故可得。

试题解析：

（1）因为，

所以，是等腰直角三角形，

故，

因为，，

所以∽，

所以，即，

因为侧面底面，交线为，

所以平面，

又，

所以平面平面.

（2）如图，过点作交的延长线于点，

因为侧面底面，侧面底面,

所以底面，

设，则，

因为，所以，

因为三棱锥的体积为，

即，

解得，

所以，

所以.

又,

所以侧面的面积为.

20．已知函数.

(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；

(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析。

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.

试题解析：（Ⅰ）由题意，

所以，当时，，，

所以，

因此，曲线在点处的切线方程是，

即.

（Ⅱ）因为，

所以，

，

令，

则，

所以在上单调递增，

因为，

所以，当时，；当时，.

（1）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是，

当时取到极小值，极小值是.

（2）当时，，

当时，，单调递增；

所以在上单调递增，无极大值也无极小值.

（3）当时，，

当时，，，单调递增；

当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增.

所以当时取到极大值，极大值是；

当时取到极小值，极小值是.

综上所述：

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；

当时，函数在上单调递增，无极值；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.

【考点】导数的几何意义及导数的应用

【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．

21．已知圆： 经过椭圆： 的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于， 两点，且（）.

（1）求椭圆的方程；

（2）当三角形的面积取得最大值时，求直线的方程.

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；

（2）是确定的， ，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．

解析：

（1）

如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为， ，三点共线，所以为圆的直径， 所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为.

（2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为                           

所以, 又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.

点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线方程为，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点到直线的距离，这样可把三角形的面积用参数表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值时参数的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决直线与圆锥曲线相交问题的主要方法.

22．在直角坐标系中，曲线，曲线(为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求的极坐标方程；

（2）射线的极坐标方程为，若分别与交于异于极点的两点，求的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【解析】分析：（1）将曲线，曲线消去参数可得普通方程，然后利用 即可得的极坐标方程；（2）将分别代入的极坐标方程可得，，，换元后，结合三角函数的有界性，利用二次函数的性质求解即可.

详解：（1），∵，故的极坐标方程：.   

的直角坐标方程：，    ∵，故的极坐标方程:.

（2）直线分别与曲线联立，得到

，则，，则，

∴

令，则，所以，即时，有最大值.

点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

23．已知函数，不等式的解集为.

（1）求；

（2）记集合的最大元素为，若、、都是正实数，且.求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）分、、三种情况，去绝对值解不等式，可得出集合；

（2）由（1）知，，则，然后将代数式与相乘，利用柯西不等式可证明出.

【详解】

（1）.

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时.

故不等式的解集为，因此，集合；

（2）由（1）可知，，

由柯西不等式得，

即，当且仅当时，即当，，时取等号.

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了利用柯西不等式证明三元不等式，解题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.