2020届贵州省凯里一中高三3月模拟（入学诊断）数学（理）试题（解析版）

2020届贵州省凯里一中高三3月模拟（入学诊断）数学（理）试题

一、单选题

1．若全集，，则（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【解析】计算得到，再计算补集得到答案.

【详解】

，，∴或.

故选：B.

【点睛】

本题考查了补集的计算，属于简单题.

2．设复数，且为纯虚数，则 （    ）

A．-1 B．1 C．2 D．-2

【答案】D

【解析】为纯虚数，，解得，故选D.

3．蟋蟀鸣叫声可以说是大自然的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）有着很大的关系.某观测人员根据下列表格中的观测数据计算出关于的线性回归方程，那么下表中的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】计算，，代入回归方程计算得到答案.

【详解】

计算，，

代入与的线性回归方程中，得，解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查了根据回归方程求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据程序框图依次计算，找出规律：的值成周期为的间隔存在，得到答案.

【详解】

由程序框图可得第一次：，，

第二次，，，不满足退出循环的条件；

第三次，，，不满足退出循环的条件；

第四次，，，不满足退出循环的条件；

第五次，，，不满足退出循环的条件；

第六次，，，不满足退出循环的条件；

…

观察可知的值成周期为的间隔存在，

第次，，，满足退出循环的条件；

第次，，，满足退出循环的条件；

故输出值为，

故选：D.

【点睛】

本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，找出周期规律是解题的关键.

5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（  ）

A．2 B．4 C．18 D．36

【答案】C

【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．

详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，

所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．

点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．

6．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】计算，再根据计算得到答案.

【详解】

因为，，所以，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，变换是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

7．若函数的图象关于点对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】化简得到，根据对称中心得到，，解得答案.

【详解】

函数，其图象关于点对称，

则，；解得，，

又，所以时，取得最小值是.

故选：A.

【点睛】

本题考查了根据三角函数的中心对称求参数，意在考查学生对于三角函数性质的灵活运用.

8．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】当时，，当时，，故排除ABC，得到答案.

【详解】

当时，，当时，，故排除ABC.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，取特殊值排除选项可以快速得到答案，是解题的关键.

9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（    ）

A．立方尺 B．立方尺 C．立方尺 D．立方尺

【答案】C

【解析】直接利用体积公式计算得到答案.

【详解】

由题意可得：这个四棱锥的体积立方尺，

故选：C.

【点睛】

本题考查了四棱锥的体积计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.

10．已知均为正实数，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】画出函数，，，的图像，根据图像得到答案.

【详解】

，，，

利用函数，，，，

如图所示：由图象可得：，

故选：C.

【点睛】

本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键.

11．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】分析：根据椭圆的定义和三角形两边之和大于第三边，转化为

，即可求解其最小值．

详解：设椭圆的右焦点为，

由，则，

根据椭圆的定义可得，

所以

点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．

二、填空题

12．已知实数满足不等式组若当且仅当，时，取得最大值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.

【详解】

由题意作出其平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，

则由图可知，当且仅当，时，取得最大值，

即目标函数取得最大值时的唯一最优解是，则，

故选：.

【点睛】

本题考查了根据线性规划最值点求参数范围，画出图像是解题的关键.

13．已知向量，，若，则______.

【答案】

【解析】根据得到，得到，计算模长得到答案.

【详解】

根据题意，向量，，，则，解得，

则，则；

故答案为：.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.

14．已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到两个班级，若甲必须在班，且每班至少有这五名中的人，则不同的分配方案有______种.

【答案】10

【解析】将人分为人数为、两组，有种分法，将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，得到答案.

【详解】

根据题意，分步进行分析：

①将人分为人数为、的两组，有种分法，

②将甲所在的组安排到班，剩下的组安排到班，有种情况，

则有种不同的安排方法.

故答案为：.

【点睛】

本题了分步乘法原理，意在考查学生的应用能力.

15．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则该正三棱锥内切球的表面积为__________．

【答案】.

【解析】作出对应的图像,设圆心,再利用内切圆的性质,根据直角三角形中的长度关系即可内切圆的半径.进而求得表面积.

【详解】

如图,是底面的重心,则内切球球心在上,与到的距离都是内切球的半径.

其中,,所以.设内切圆的半径为.由,得.即,解得.所以内切球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了内切圆的性质与计算,需要根据立体几何中的相似与比例关系列式求解.属于中等题型.

16．已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值

【详解】

由正弦定理可转化为，两边同时除以可得，，

即

则，

当且仅当时取到等号；

故答案为

【点睛】

本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题

三、解答题

17．知数列的前项和,数列满足.

(1)求数列和的通项公式;

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)，.(2).

【解析】分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为.则.

（2）结合(1)中的结论错位相减可得数列的前项和.

详解：(1)在中,令,得，

当时, ,所以 .

由于满足,所以.

因为,所以.

（2）由（1）知，所以 ，①

则 .②

①-②得

，

所以.

点睛：数列求和的方法技巧

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

18．2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，，参考的文科生与理科生人数之比为，成绩（单位：分）分布在的范围内且将成绩（单位：分）分为，，，，，六个部分，规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.

（1）求实数的值；

（2）（i）完成下面列联表；

（ii）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？

注：，其中.

【答案】（1），，（2）（i）填表见解析（ii）在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关

【解析】（1）根据频率直方图得到，，解得答案.

（2）（i）计算人中文科生的数量为，理科生的数量为，完善列联表得到答案.

（2）（ii）计算，对比临界值表得到答案.

【详解】

（1）由频率分布直方图可知，，

因为，所以，

解得，所以，.

即，，.

（2）（i）获奖的人数为人，

因为参考的文科生与理科生人数之比为，

所以人中文科生的数量为，理科生的数量为.

由表可知，获奖的文科生有人，所以获奖的理科生有人，

不获奖的文科生有人，不获奖的理科生有.

于是可以得到列联表如下：

（ii）计算；

所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.

【点睛】

本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19．如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，平面的法向量，，得到证明.

（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.

【详解】

（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，

，平面的法向量，

∵，平面，∴平面.

（2），，，，，

，，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取得，得，

设二面角的平面角为，

则二面角的余弦值为.

、

【点睛】

本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20．设是坐标原点,是抛物线的焦点,是该抛物线上的任意一点，当它与轴正方向的夹角为60°时,.

(1)求抛物线的方程;

(2)已知,设是该抛物线上的任意一点,是轴上的两个动点,且，当取得最大值时,求的面积.

【答案】(1) .

(2)4.

【解析】分析：（1）设，则由抛物线的定义得，当与轴正方向的夹角60°时，，由，从而可得结果；（2）设，则，所以，则，利用基本不等式、结合三角形面积公式可得结果.

详解：（1）设，则由抛物线的定义得.

当与轴正方向的夹角60°时，，即.

又.

所以，抛物线的方程为

（2）因为所以点在线段的中垂线上，

设，则

所以

所以

当且仅当时等号成立，此时

所以.

点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.

21．已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）在上单调递减，在，上单调递增；（2）的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ，根据a的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若对恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则，当时，，或，，则，∴在上递增，从而.若，令 ，当时，；

当时，.∴综合得出结论即可

解析：（1） ，

当时，，∴在上单调递增.

当时，，故当或时，在上单调递增.

当时，令，得或；

令，得.

∴在上单调递减，在，上单调递增.

（2）设，则，

当时，，或，，则，

∴在上递增，从而.

此时，在上恒成立.

若，令 ，当时，；

当时，.

∴，则不合题意.

故的取值范围为.

点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若，直线与曲线交于两点，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）直线的直角坐标方程为，根据极坐标公式得到答案.

（2）直线的参数方程为，代入椭圆方程得到，，，计算得到答案.

【详解】

（1）直线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为.

曲线的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为.

（2）把直线的参数方程转换为标准式为（为参数），

代入，得到：，所以，，

所以.

【点睛】

本题考查了极坐标方程，参数方程的转化，直线的参数方程求弦长，意在考查学生的计算能力和应用能力.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）把代入，分别解不等式及，求交集可得不等式的解集；（2），可对 分三种情况进行讨论，求解的取值范围.

详解：（1）当时，因为

所以的解集为，

由，得，则，即，

解得，故不等式的解集为；

（2）当时，，

则，又，所以．

当时，，故不合题意，

当时，

当且仅当时等号成立，则，又，所以

综上：的取值范围为．

点睛：不等式证明选讲近年来多以考察绝对值不等式为主，要能够对参数熟练进行分类讨论，或者运用绝对值不等式的几何意义进行求解，当不等式两侧都含有绝对值时，对不等式两侧分别平方可以避免分类讨论，减少计算量.