2020届贵州省铜仁第一中学高三第三次模拟考试数学（理）试题
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铜仁一中2020届第三次模拟考试试题
理 科 数 学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷共8页，23题，满分150分，考试用时120分钟。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3．已知偶函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，且成等比数列，则的值为（ ）
A. B.0 C.2 D.3
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，，，则（ ）
A. B. C. D.
6．.函数的图象大致为（ ）
A. B. C D.
7．.已知一个简单几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
8．若，则（ ）
A.或 B. 或 C.1或3 D.1或
9．定义在上的奇函数满足，且在上，则=（ ）
A. B. C. D.
10．若正数满足，则的最小值为（ ）
A.4 B.8 C. D.16
11．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列，若数列的前n项和为，则（ ）
A．265 B．521 C．1034 D．2059
12．已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知实数满足约束条件，则的最小值是．
14．已知向量满足，则 ．
15．在平面内，三角形的面积为，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，表面积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径=______________________．
16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为，高为10 cm.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g．（取，精确到0.1）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知为数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数图象的对称轴方程与函数的单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为若，，求的最大值.
19．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中，底面是正方形，,
（1）证明：BD⊥平面；
（2）若是的中点，是棱上一点，且BE∥平面，求二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列，并且求；
（2）令，令，求数列的前项和．
21.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若为的极值点，求的单调区间；
（2）当时，，求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22． (本小题满分10分) 【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线经过点，且倾斜角为.
（1）写出曲线的直角坐标方程以及直线的参数方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，求证：.
铜仁一中2020届第三次模拟考试
理科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | A | A | B | D | C | A | B | C | B | B | C |
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 358.5 |
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）令，得，
，
由已知
，
，
∴数列是首项为4，公比的等比数列，
． …………………………………………………………（6分）
（2）∵，
，
的前n项和 …………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1） ∵
∴．
令，得，，
∴的对称轴方程为．
令
求得：，
∴的单调递增区间为………………………………（6分）
（Ⅱ），∴，，
由正弦定理：，
∴
，
其中，，
，
时，． ………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：
平面，．
又为正方形，
平面．………………………（6分）
（2）解：如图2，连接，取的中点，
设，连接，则，
从而平面，平面与的交点即为．
建立如图所示的空间直角坐标系，
平面即平面，设其法向量为，
则即令，得，
易知平面的一个法向量为，
，因为二面角为锐二面角，
故所求余弦值为…………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解.（1）当时，，解得，
当时，由得，
两式相减，得，即（），
则，故数列是以为首项，公比为的等比数列．………………（6分）
（2）由（1）知，
，
所以，
则．…………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），由题有，
从而，故当时，；当时，．
所以的单调增区间为，单调减区间为．…………………………（6分）
（Ⅱ），令，
则，
（i）当时，
因为，所以当时，；当时，，
从而，
故只需，解得．
（ii）当时，取使得，
则，且，故不符合题意．
综上，a的取值范围为． …………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解.（1）曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
点的极坐标为：，化为直角坐标为
直线的参数方程为 (为参数) ---------------------------（5分）
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
整理得：，
显然有，则，
，
所以. -----------------（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）解：不等式，即，
当时，不等式可化为，解得：，
当时，不等式可化为不成立，
当时，不等式可化为，解得，
∴原不等式的解集为或． ………………………………（5分）
（Ⅱ）证明：，当且仅当，时等号成立，由题意，则，
． ……………………………………………………（10分）
