2020届贵州省铜仁第一中学高三防疫期间“停课不停学”网上考试（三）数学（文）试题

贵州省铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上考试（三）文科数学第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卡上.）1.已知集合，，则下列判断正确的是（    ）A.          B.          C.        D. 2.设，，则的值为（    ）A. 0 B.  C.  D. 3.如图，一个装饰物的正视图、侧视图都是边长为2，且有一个内角为的菱形，俯视图是正方形，则这个装饰物的体积为（    ）A.  B. C.  D. 4.已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知圆被两直线，分成面积相等的四部分，且截轴所得线段的长为4.则圆的方程是（    ）A.  B. C.  D.  6.函数的部分图象大致为（    ）A.   B.   C.   D. 7.如图所示，已知中，，，交于点，若，则（   ）A.        B.        C.         D. 8.已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（    ）A.  B. 函数在上递增C. 函数的一条对称轴是 D. 函数的一个对称中心是9.某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励80慧币；第二种，闯过第一关奖励8慧币，以后每一关比前一关多奖励8慧币；第三种，闯过第一关奖励1慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.已知一名闯关者冲关数一定超过3关但不会超过9关，为了得到更多的慧币，他应如何选择奖励方案？答（   ）A 选择第一种奖励方案 B. 选择第二种奖励方案C. 选择第三种奖励方案 D. 选择的奖励方案与其冲关数有关10.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（    ）A. 4 B. 8 C. 9 D. 1211. 已知函数f(x)＝(2x＋ln x－a)ex在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的最大值是(　　)A.5－ln 2          B.5－2ln 2         C.2－ln 2          D.5＋2ln 212. 已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为(　　)A.10π               B.25π                C.50π             D.100π第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设，向量，，且，则______14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.15.已知双曲线：左焦点为，过原点的直线与双曲线相交于、两点.若，，，则双曲线的实轴长______.16. 设等差数列{an}满足a2＝5，a6＋a8＝30，则数列的前n项和为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共60分.17.已知函数的最小值为-2.（1）求实数的值；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长.   18. 如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD＝30°，AD＝4，AB＝2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.(1)证明：BE⊥PC；(2)求多面体PABED的体积.  19. 某市教育学院从参加市级高中数学竞赛的考生中随机抽取60名学生，将其竞赛成绩(均为整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数、众数、中位数(小数点后保留一位有效数字)；(2)用分层抽样的方法在各分数段的考生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？     20.已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知过点的两直线和互相垂直，且直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点（，，，为不同的四个点），求四边形的面积的最小值.     21. 已知函数f(x)＝x2－(a2＋a＋2)x＋a2(a＋2)ln x，a∈R.(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的单调区间；(2)试判断当a∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的零点的个数，并说明理由．  （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知与相切，求的值.    23.已知，，为正数，且满足，证明：（1）；（2）.
贵州省铜仁一中高三年级防疫期间“停课不停学”网上考试（三）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C。由，，对于A，，故A不正确；对于B，集合中不含，故B不正确； 对于C，，故C正确；对于D，，故D不正确。2.C。，则，所以。3.A。由三视图知该几何体是两个大小相同的正四棱锥的组合体，正视图、侧视图均都是边长为2，且有一个内角为的菱形，所以正四棱锥的底边边长为，高为，所以组合体的体积为。4.B。，当时，则，所以，当时，，解得，所以“”是“”的必要不充分条件。5.B。设圆的方程为，圆被两直线，分成面积相等的四部分，圆心一定是两条直线，的交点，联立，解得，，又圆截轴所得线段的长为4，，则圆的方程。6.D。  函数，设，可得为奇函数，所以的图像关于对称，则的图像关于对称，故排除A、C当时，，即，故排除B。7.B。设，，，，，三点共线，，解得，，，8.D。，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数， 对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错；对于C，当时，，故C错误； 对于D，由。9.A。设冲关数为，三种方案获得的慧币为，由题意可知：；，；当时，，，，故选择第一种奖励方案10.C。由题意可知，当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，则，整理可得，所以，所以，当且仅当时，取等号，故的最小值为9。11. A。　∵f(x)＝(2x＋ln x－a)ex，∴f′(x)＝(2x＋ln x＋＋2－a)ex，x∈(0，＋∞).依题意，知x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即a≤2x＋ln x＋＋2在(0，＋∞)上恒成立.设g(x)＝2x＋ln x＋＋2，则g′(x)＝2＋－＝＝，x∈(0，＋∞).令g′(x)＝0，得x＝或x＝－1(舍去).令g′(x)＜0，则0＜x＜，令g′(x)＞0，则x＞，∴当x＝时，函数g(x)取得最小值，g(x)min＝g＝5－ln 2，∴a≤5－ln 2，即实数a的最大值是5－ln 2。12.D。设球O的半径为R，由平面ABC截球O所得截面的面积为9π，得△ABC的外接圆的半径为3.设该外接圆的圆心为D，因为AB⊥BC，所以点D为AC的中点，所以DC＝3.因为PA⊥平面ABC，易证PB⊥BC，所以PC为球O的直径.又PA＝8，所以OD＝PA＝4，所以R＝OC＝ ＝5，所以球O的表面积为S＝4πR2＝100π。第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.。解：由向量，，且，所以，解得，则 所以 1。解：作出实数，满足约束条件   的可行域，如图所示， 由解得 ，，作出直线：，将目标函数化为，目标函数过点时，，综上所述，的最小值为1。15.。解：在中，，，，由余弦定理可得，从而可得，解得，所以为直角三角形， 设为双曲线的右焦点，连接，根据对称性可得四边形是矩形，所以，所以16. 设等差数列{an}的公差为d.∵{an}是等差数列，∴a6＋a8＝30＝2a7，解得a7＝15，∴a7－a2＝5d.又a2＝5，则d＝2.∴an＝a2＋(n－2)d＝2n＋1.∴＝＝，∴的前n项和为＝＝.三、解答题（本大题共6小题，共70分）（一）必考题：共60分.17.（1）（2）解：（1）.………………4分∵的最小值为-2，∴，解得.………………6分（2）由得，∵，∴，∴，解得，………………8分∵，，∴.∴.………………10分由正弦定理，得，得，即.………………12分 18. 解：(1)证明：∵BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos ∠BAD＝4，∴BD＝2，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD，∴BD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BD⊥平面PCD，∴BD⊥PC.∵△PCD为正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥平面BDE，∴BE⊥PC. ………………6分(2)如图，作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，EG⊥平面ABCD，∵△PCD为正三角形，CD＝2，∴PF＝3，EG＝，∴V四棱锥P­ABCD＝×2×2×3＝4，V三棱锥E­BCD＝××2×2×＝，∴多面体PABED的体积V＝4－＝3.………………12分19. 解：(1)由频率分布直方图可知，(0.010＋0.015＋0.015＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，所以a＝0.03.所以参加高中数学竞赛的考生的成绩的平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，………………2分成绩的众数为75. ………………4分设参加高中数学竞赛的考生的成绩的中位数为x，则0.1＋0.15＋0.15＋(x－70)×0.03＝0.5，解得x≈73.3，所以中位数为73.3. ………………6分(2)因为各层人数分别为6，9，9，18，15，3，各层抽取比例为＝，………………8分所以各分数段抽取人数依次为2，3，3，6，5，1. ………………12分20.（1）（2）解：（1）设动圆半径为，由于在圆内，故圆与圆内切，则，，∴，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为4的椭圆，，，，∴轨迹的方程为. ………………6分（2）若或的斜率不存在，四边形的面积，………………8分若两条直线的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为，则方程为，的方程为，联立方程组，得，由韦达定理得，，，设，，则，同理可得，………………10分∴，当且仅当，即时等号成立.∵，因此当时，四边形的面积取得最小值为.………………12分另解一：.当即时等号成立.另解二：也可以令换元求解.21. 解：(1)易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋ln x，∴f′(x)＝x－2＋＝＝≥0，∴函数y＝f(x)在其定义域内为增函数，单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．……6分(2)①当a＝0，f(x)＝x2－2x＝(x－2)2－2(x＞0)，由于f(4)＝0，故函数有且只有一个零点．②当a＝－1时，由(1)知函数y＝f(x)在其定义域内为增函数，由于f(e)＝－2e＋1＝＜0，f(e2)＝－2e2＋2＝＞0，故函数有且只有一个零点．③当－1＜a＜0或0＜a≤1时，a＋2＞a2＞0，可得当x∈ (0，a2)时，f′(x)＞0，函数为增函数；当x∈(a2，a＋2)时，f′(x)＜0，函数为减函数；当x∈(a＋2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数为增函数．∴当x＝a2时，函数有极大值f(a2)＝a2[a2－2(a2＋a＋2)＋2(a＋2)ln a2]＝a2[－a2－2(a＋2)＋2(a＋2)ln a2]，当－1＜a＜0或0＜a≤1时，a2≤1，∴f(a2)＜0，又f(e3)＞0，故函数有且只有一个零点．综上可知，当a∈[－1，1]时，函数y＝f(x)有且只有一个零点．………………12分（二）选考题：共10分，请在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22.（1）的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为（2）解：（1）因为，，两式相减，有，所以的直角坐标方程为.直线的直角坐标方程为.………………5分（2）联立与的方程，有，消，得，因为与相切，所以有，解得：.………………10分23.解：（1）由，可得.当且仅当时，等号成立. ………………5分（2）∵，∴（当且仅当时等号成立）即，∴.………………10分