2020届河北省衡水市高三下学期3月第五次调研数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先求出，再结合题意即可求出结果.
【详解】
， ，.故选C
【点睛】
本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型.
2．已知复数满足，则的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可.
【详解】
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题.
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．
【详解】
根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，
有，
又由在上单调递增，则有，故选C.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．
4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为的圆，钱中间的正方形孔的边长为，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据几何概型面积型计算公式直接求解即可.
【详解】
由题，，所以．
故选：D
【点睛】
本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.
5．命题：，，命题：，，则是的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．必要充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 表示的范围，用图像来表示就是以 为圆心， 为半径的圆内；
：， 表示以 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故范围比范围小，根据小范围推大范围，得是的充分非必要条件；
故选A
点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本；
再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；
6．已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第项，则判断框内的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】执行程序框图，从开始运行，当运行求出的值，然后对判断框进行判断即可.
【详解】
由递推式，
可得，
，
…
，
.
将以上个式子相加，可得，
则.①
由程序框图可知，当判断框内的条件是时，
则输出的，②.
综合①②可知，若要想输出①式的结果，则．
故选：B
【点睛】
本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题.
7．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
【详解】
，排除，B，C，
当时，，
则时，，，排除A，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。
8．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【详解】
根据已知函数
其中，的图象过点，，
可得，，
解得：．
再根据五点法作图可得，
可得：，
可得函数解析式为：
故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
故选B．
【点睛】
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．
9．已知是圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】试题分析：由题意得，设，,,又因为,所以，所以的最小值为1，故答案选D.
【考点】1.圆的性质；2.平面向量的数量积的运算.
10．圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,
则圆锥的体积为,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,
展开整理得R=所以外接球的体积为,
故所求体积比为
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
11．已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.
【详解】
由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点
为圆的直径
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形
又，可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.
12．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令 令 ，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故 的最大值为1，选C.
点睛：本题主要考查了导数在研究函数的单调性上的应用，属于中档题。本题关键是将已知不等式恒等变形为，再根据单调性得出结果。
二、填空题
13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．
【答案】6
【解析】抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.
【详解】
由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，
抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为6．
【点睛】
本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则的值为____________．
【答案】
【解析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可.
【详解】
由正弦定理可得：，
即，∴．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.
15．正四棱锥底面边长为，高为，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_______．
【答案】
【解析】取，的中点，， 根据三角形中位线、面面平面的判定定理、线面垂直的判定定理，可以证明出平面，这样可以确定动点在四棱锥表面上运动的轨迹为△，然后求出周长即可.
【详解】
如图所示，取，的中点，，则，，由线面判定定理可知：平面，平面，而，所以平面平面，设是底面正方形的中心，所以正四棱锥的高为，则，则有，而，所以平面，所以平面，因为
，所以有，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为△，，，
则动点的轨迹的周长为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了立体几何中轨迹问题，考查了线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，考查了推理认证能力和空间想象能力.
16．定义在上的函数满足，的导函数，且对恒成立，则的取值范围是_______
【答案】
【解析】构造函数，根据的单调性可得；然后构造函数，可得，从而得到，即为所求．
【详解】
设，
则故函数在上单调递增，
所以，
故．
设，
则在上单调递减，
所以，
则，
所以．
故的取值范围是．
【点睛】
本题考查构造函数求范围，解题的关键是根据题意中给出的条件构造出两个函数，然后再根据取特殊值得到所求的范围，综合考查创新和应用能力，具有一定的综合性和难度．
三、解答题
17．在公差为的等差数列中，.
（1）求的取值范围；
（2）已知，试问：是否存在等差数列，使得数列的前项和为？若存在，求的通项公式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，通项公式为
【解析】（1）由等差数列的性质，将代入，化简整理即可求出结果；
（2）根据求出，再假设存在等差数列，结合题意求出，再由裂项相消法求出数列的前项和，即可求出结果.
【详解】
解:（1），，
整理得，
则，
解得，则的取值范围为.
（2），，即，
则.
假设存在等差数列，则，即，解得，
从而.
此时，
，
故存在等差数列，且，使得数列的前项和为.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与性质，以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.
18．如图，多面体中，是菱形，，平面，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）通过证明四边形为平行四边形，可知；根据线面垂直性质和菱形可分别证明出和，根据线面垂直的判定定理可证得平面，从而得到平面，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（2）将所求几何体拆分成三棱锥和四棱锥，分别求解出两个部分的体积，作和可求得结果.
【详解】
（1）证明：连接交于，设中点为,连接，
，分别为，的中点
,且 且
四边形为平行四边形
, 即
平面，平面
四边形是菱形
平面，即平面
又平面 平面平面
（2）
平面平面 到平面的距离为
【点睛】
本题考查面面垂直的证明、空间几何体的体积求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质.求解体积问题的关键是能够把不规则几何体拆分成规则几何体，从而分部分来进行求解.
19．某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据（单位：）和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量 | |||||||
频数 |
使用了节水龙头天的日用水量频数分布表
日用水量 | ||||||
频数 |
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案】（1）直方图见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；
（2）结合直方图，算出日用水量小于的矩形的面积总和，即为所求的频率；
（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.
【详解】
（1）频率分布直方图如下图所示：
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后天日用水量小于的频率为
；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为；
（3）该家庭未使用节水龙头天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
【点睛】
该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.
20．已知椭圆，点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形，求实数的取值范围
【答案】（1）或； （2）或.
【解析】（1）将点代入椭圆方程，并结合，可以求出，然后将点代入椭圆方程即可求出，即可得到答案；（2）将直线与椭圆联立，可以得到两点的坐标关系，设，则，由题意，即，从而可以建立等式关系：，可以整理为关于的一元二次方程，令即可求出的取值范围。
【详解】
（1）由题设知，.由点在椭圆上，得.
解得，
又点在椭圆上，.
即，解得.
所以椭圆的方程是.
（2）设、，
由得
，，，
设，则
依题意，得
即
有解
化简得，或
【点睛】
本题考查了直线与椭圆的综合问题，涉及椭圆方程的求法，椭圆的离心率，一元二次方程根的特点，直角三角形的几何关系的利用，属于难题。
21．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)对函数求导，结合二次函数的性质讨论的范围，即可判断的单调性；(2)由存在不动点，得到有实数根，即有解，构造函数令，通过求导即可判断的单调性，从而得到的取值范围，即可得到的范围。
【详解】
(1)的定义域为，
对于函数，
①当时，即时，在恒成立.
在恒成立.
在为增函数；
②当，即或时，
当时，由，得或，，
在为增函数，减函数.
为增函数，
当时，由在恒成立，
在为增函数。
综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数。
（2），
存在不动点，方程有实数根，即有解，
令，，
令，得，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
，
当时，有不动点，
的范围为.
【点睛】
导数式含参数时，如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点，一般采用求根法和图像法。
22．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求，交点的直角坐标；
（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.
【答案】（1）， ； （2）.
【解析】（1）结合，得到曲线的普通方程，计算交点坐标，即可。（2）结合三角形面积计算公式， 结合三角函数性质，计算最值，即可。
【详解】
(Ⅰ)，，∴，∴.
联立方程组得，解得，，
∴所求交点的坐标为，.
(Ⅱ)设，则.
∴的面积
∴当时，.
【点睛】
本道题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数的性质，难度中等。
23．已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；
（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．．
【详解】
解：（1）不等式等价于或或
解得或或，所以不等式的解集为．
（2）由知，当时，；
，
当且仅当时取等号，
所以， 解得． 故实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．
