2020届百校高三高考考前冲刺必刷卷（四）全国Ⅰ卷 数学（文）试题（解析版）
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一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解一元二次不等式可得集合A，由集合补集与交集运算即可得解.
【详解】
依题意集合，
集合，所以由补集定义可得，
所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了集合补集与交集的简单运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．若函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】C
【解析】根据偶函数定义，代入即可由求得的值.
【详解】
依题意，
，
即，
故；
因为，故.
故选:C.
【点睛】
本题考查了偶函数的定义，根据偶函数求参数值，属于基础题.
3．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据二次函数的性质，结合定义域即可求得最大值与最小值，进而得值域.
【详解】
函数的对称轴为，
由于二次函数的开口向上，
故函数在处取到最小值，
最大值为，
故所求值域为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数性质的简单应用，由定义域求函数的值域，属于基础题.
4．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①由逆命题与否名题同真同假，判断出逆命题的真假，即可判断其否命题的真假；对于②求得其逆否命题，可通过逆否命题的真假判断该命题真假；对于③写出逆命题，即可由直线平行关系判定判断命题真假.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，由对数定义域可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
综上可知，正确的为②③；
故选：C.
【点睛】
本题考查了命题与逆否命题、否命题与逆命题、命题与逆命题的真假关系应用，属于基础题.
5．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正弦函数的性质可得集合A，由集合性质表示形式即可求得，进而可知满足.
【详解】
依题意，；
而
，
故，
则.
故选：B.
【点睛】
本题考查了集合关系的判断与应用，集合的包含关系与补集关系的应用，属于中档题.
6．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性可排除D，取特殊值代入即可排除BC，即可得解.
【详解】
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
故函数为偶函数，排除D；
因为，排除C；
而，排除B.
所以A为正确选项，
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据函数解析式选择图像，奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.
7．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A．，-2 B．，-9 C．-2，-9 D．2，-2
【答案】B
【解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，，
作出函数的图象如下所示；
由函数图像可知，当时，有最大值，
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】
本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据指数幂运算，化简后结合指数函数性质可比较大小；结合中间值法可比较大小，进而得解.
【详解】
，，
所以，即，
而，即，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数幂的化简运算，指数函数的性质比较大小，属于基础题.
9．函数在上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先根据解析式求得导函数，并分离参数后结合定义域内函数的单调性即可求得的取值范围，进而由充分不必要条件的性质即可得解.
【详解】
函数，则，
故在上恒成立，
故，
因为在上单调递增，
故，
结合选项可知，反之不成立，
故选：B.
【点睛】
本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，充分必要关系的判断及参数求法，属于中档题.
10．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．3 D．8
【答案】A
【解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.
【详解】
函数的定义域为，且，
则；
任取，且，则，
故，
令，，则，
即，
故函数在上单调递增，
故，
令，，
故，
故函数在上的最大值为4.
故选：A.
【点睛】
本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.
11．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.
【详解】
依题意
，
则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，；
而函数在上单调递减，
故，
则只需，
故，解得，
故实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】
本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.
12．已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图像；将方程看做一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图像即可求解.
【详解】
函数，则，
令，解得；
故当时，，且，
当时，，且，
当时，，且，
因而当时取得极小值，.
作出函数的大致图象如下所示；
而，
解得或；
由函数图像可知，方程的根的个数为3.
故选：C.
【点睛】
本题考查了导函数在判断函数单调性、求极值中的应用，根据函数单调性、极值和函数值的符号画出函数图像，函数与方程的综合应用，属于中档题.
二、填空题
13．设命题：，，则为______.
【答案】，
【解析】全称命题的否定形式，即可得解.
【详解】
命题是全称命题，则为特称命题，
故将“”改为“”，将“”改为“”，即为，，
故答案为：，.
【点睛】
本题考查了全称命题否定形式，属于基础题.
14．已知集合，若，则______.
【答案】2
【解析】根据元素与集合关系，可解得的值，注意集合元素互异性原则的应用.
【详解】
依题意或，
解得或；
由集合中元素的互异性可知当时，集合的两个元素相等，不合题意；
所以.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，集合元素互异性原则的应用，属于基础题.
15．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】根据函数的解析式，画出函数图象，由函数图象可得函数的单调性，即可解不等式，求得的取值范围.
【详解】
函数，
作出函数的图象如下所示，
由函数图像可知，函数在上单调递减，
故，
所以，解得
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分段函数图象的画法，由函数单调性解不等式求参数的取值范围，属于基础题.
16．函数在上的最大值为______.
【答案】
【解析】由函数的解析式，求得导函数，构造函数，并求得；再构造，求得.由在内恒大于0，可知为上的单调递增函数；根据可知，即证明在时单调递增，即可求得在上的最大值.
【详解】
函数，，
求得导函数为，
设，，则，
设，，
则在上恒成立，
∴在上单调递增，
∴在上恒成立，则在上恒成立，
∴在上单调递增，
∴在上恒成立，则在上恒成立，
∴在上单调递增，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了导数证明函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与最值，属于中档题.
三、解答题
17．已知集合，.
（1）若，则；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.
（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.
【详解】
（1）若，则，
依题意，
故；
（2）因为，故；
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
解得；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
18．已知命题：，；命题：函数在上单调递减.
（1）若为假，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若为假，则为真，根据二次函数单调性与对称轴关系即可求得的取值范围；
（2）由基本不等式可求得为真时的取值范围；由为假，为真，可知真假或假真，分别解不等式组即可求得的取值范围.
【详解】
（1）若为假，则为真；
因为函数的开口向上，且对称轴为，则，
解得，
故实数的取值范围为.
（2）若为真，则，，
因为，当且仅当时等号成立，故；
若真假，则实数满足，则；
若假真，则实数满足，无解；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了非命题与命题的关系，由复合命题的真假判断命题真假，二次函数单调性与基本不等式求最值的应用，属于基础题.
19．已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域；
（Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）把代入，可得，令，求出其在上的值域，利用对数函数的单调性即可求解.
（Ⅱ）根据对数函数的单调性可得在上单调递增，再利用二次函数的图像与性质可得解不等式组即可求解.
【详解】
（Ⅰ）当时，，
此时函数的定义域为.
因为函数的最小值为.
最大值为，故函数在上的值域为；
（Ⅱ）因为函数在上单调递减，
故在上单调递增，则
解得，综上所述，实数的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数的单调性求值域、利用对数型函数的单调区间求参数的取值范围以及二次函数的图像与性质，属于中档题.
20．已知奇函数的定义域为，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据奇函数定义，可知；令则，结合奇函数定义即可求得时的解析式，进而得函数的解析式；
（2）根据零点定义，可得，由函数图像分析可知曲线与直线在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将与联立，由判别式及两根之和大于0，即可求得的取值范围.
【详解】
（1）因为函数为奇函数，且，故；
当时，，
，
则；
故.
（2）令，
解得，画出函数关系如下图所示，
要使曲线与直线有3个交点，
则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立，
化简可得，
令，即，
解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题.
21．已知函数.
（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；
（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.
【详解】
（1）依题意，，，
设切点为，，
故，
故，则；
令，，
故当时，，
当时，，
故当时，函数有最小值，
由于，故有唯一实数根0，
即，则；
（2）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；
由于.
由，解得，.
当变化时，与的变化情况如下表所示：
3 | |||||
0 | + | 0 | |||
极小值 | 极大值 |
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
，，
故当或时，直线与曲线在上有两个交点，
即当或时，函数在区间上有两个零点.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
22．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：，.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析
【解析】（1）根据函数的解析式求得导函数，可由的符号判断函数的单调性，并由极值点求得极值.
（2）将函数的解析式代入不等式，并构造函数，求得，再构造函数，并求得，由可知在上单调递增，由零点存在定理可知在内有唯一解，记为，满足.进而由的符号判断单调性，即可求得的函数表达式，根据二次函数在定区间上的值域即可判断恒成立，即证明不等式成立.
【详解】
（1）函数，，
则，
由可知在上单调递增，且，
故当时，，
当时，，
故函数有极小值，无极大值；
（2）证明：依题意对，，即；
设，则，设.
因为，所以在上单调递增.
又因为，，
所以在内有唯一解，记为，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，.
设，，则，
所以，
所以，即，.
【点睛】
本题考查了由导数判断函数的单调性与极值，导数在证明不等式中的应用，构造函数法的综合应用，函数零点存在定理的应用，二次函数性质的应用，综合性强，属于难题.
