2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（文）试题（解析版）

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解出集合A，用列举法写出集合B，即可求得交集.

【详解】

依题意，

，故

故选：D

【点睛】

此题考查求集合的交集，关键在于准确求解集合A中的不等式，根据交集运算法则求解.

2．设复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据复数运算法则求解，即可得到其虚部.

【详解】

依题意，

故复数的虚部为

故选：C

【点睛】

此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.

3．唐老师要在甲、乙、丙、丁、戊5个同学中随机抽取3人参加诗歌朗诵，则乙、丙两人同时被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】列举出随机抽取3人的基本事件，得到基本事件总数，数出乙、丙两人同时被选中包含的基本事件个数，即可求得概率.

【详解】

依题意，5个同学中随机抽取3个，所有的情况为（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种；其中满足的条件为（甲，乙，丙），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共3种，故所求概率.

故选：C

【点睛】

此题考查求古典概型，关键在于根据题意准确求出基本事件总数，某一事件包含的基本事件个数，根据概率公式求解.

4．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据离心率，解方程得，即可得到渐近线方程.

【详解】

依题意，即，故，则双曲线的渐近线方程为.

故选：C

【点睛】

此题考查求渐近线方程，关键在于熟练掌握双曲线基本量之间的关系，利用离心率与渐近线斜率之间的等量关系求解.

5．已知命题“”，命题：“直线与直线相互垂直的充要条件为”.则下列命题是真命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意判断命题为假命题，命题为真命题，即可判定选项.

【详解】

依题意，，故命题为假命题；若直线与直线相互垂直，则，解得，故命题为真命题；

故为假命题，为真命题.

故选：C

【点睛】

此题考查含有逻辑联结词的命题真假判断，关键在于准确判定已知命题的真假.

6．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据二倍角公式的关系变形为，80°=70°+10°，利用两角和的余弦公式化简即可得解.

【详解】

依题意，

故选：A

【点睛】

此题考查根据三角恒等变换化简求值，关键在于熟练掌握倍角公式和差公式及其逆用.

7．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的属于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据程序框图的作用得出算法所表达的函数关系即可得解.

【详解】

依题意，该程序框图实现的分段函数的运算，

因为，故.

故选：D

【点睛】

此题考查程序框图，根据框图的作用求输出值的取值范围，关键在于读懂框图的作用，尤其注意判断框的条件.

8．图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据三视图可知，该几何体由一个四棱柱和两个四分之一圆锥拼接而成，利用相关公式求解表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体由一个四棱柱和两个四分之一圆锥拼接而成，故表面积

故选：D

【点睛】

此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，熟练掌握常见几何体的表面积求解方法.

9．设函数，则函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解.

【详解】

依题意，函数的定义域为，关于原点对称，

且，

故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；

当时，排除D；

，排除A.

故选：B

【点睛】

此题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决.

10．已知中，内角所对的边分别为.若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦定理求出C的三角函数值，结合角的关系求出B的三角函数值，求解即可得到面积.

【详解】

由正弦定理，，故，则，而，故，

则，

故的面积为

故选：C

【点睛】

此题考查解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理在解三角形中的应用，利用三角恒等变换求三角函数值根据面积公式求得面积.

11．设抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2，点，在抛物线上，且，，三点共线，作，垂足为，若直线的斜率为4，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据直线的斜率为4可得的坐标，再利用可得的坐标，最后利用焦半径公式，即可得答案；

【详解】

依题意，抛物线：，则；

设，，则；

因为，解得，故，，

即，故①，

而②，联立①②，解得，

则，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

12．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据比较b，c的大小关系，构造函数比较a，b，的大小关系，即可得解.

【详解】

，所以，

构造函数，

，

，所以，

，必有，，所以

所以，

即

所以单调递减，

所以

即，

所以

故选：A

【点睛】

此题考查比较三角函数值的大小，常利用中间值比较，或构造函数利用函数单调性比较大小.

二、填空题

13．已知向量，若，则实数的值为_________.

【答案】

【解析】根据向量垂直，数量积为0，建立等式即可求解.

【详解】

依题意，

因为，所以，故，即

故答案为：-12

【点睛】

此题考查根据向量垂直求解参数，关键在于对垂直关系的等价转化，利用坐标求解.

14．已知实数满足，则的最小值为_________.

【答案】14

【解析】作出可行域，结合几何意义，当直线过点时，目标函数取得最大值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当直线过点时，有最大值；联立解得故，则

故答案为：14

【点睛】

此题考查线性规划问题，关键在于准确作出可行域，根据目标函数的几何意义求解最值.

15．《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为_________.（注：1丈尺,墓坑相对的侧面坡度相同）

【答案】52000立方尺

【解析】对墓坑抽象出来的几何体进行分割，分别求体积.

【详解】

进行分割如图所示，

故

立方尺

故答案为：52000立方尺

【点睛】

此题以中国传统文化为背景考查求几何体的体积，关键在于准确识别几何体的特征，分割处理成多个小几何体的体积之和.

16．已知函数，则函数在上的取值范围为__________.

【答案】

【解析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，根据定义域整体代入即可求得值域.

【详解】

依题意，，

故当时，，，此时

则

故函数在上的取值范围为

故答案为：

【点睛】

此题考查求函数值域，关键在于熟练掌握二倍角公式的变形应用和辅助角公式的应用，利用整体代入的方法求解值域.

三、解答题

17．已知数列满足，其中.

（1）求数列的前项和；

（2）若，记数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）由题，两边同时除以化简为即可得证；

（2）结合（1）求出的通项公式，利用裂项求和求出即可得证.

【详解】

（1），其中，

若则，依次类推与矛盾

所以，而，故，解得

依题意，

显然故，即

故数列是以为首项，2为公差的等差数列；

故

（2）由（1）可知，

故

所以

因为，所以

【点睛】

此题考查根据数列递推关系求解通项公式，利用裂项相消进行数列求和，需要积累常见递推关系的处理办法.

18．如图，在四棱锥中，.

（1）在线段上作出一点，使得平面，并说明理由；

（2）若，求点到平面的距离.

【答案】（1）线段的中点为，理由详见解析；（2）.

【解析】（1）取线段的中点，连接，通过证明即可得证；

（2）利用等体积法，通过求得点到平面距离.

【详解】

（1）取线段的中点，连接

下面证明平面：

因为，故，

又

故四边形为正方形，故

又平面，平面

故平面

（2）因为

所以平面，

又因为平面

所以平面平面

平面平面

在平面内过点作直线于点，

则平面

在和中，

因为

所以

又由题知，所以

由已知求得，所以

连接，则

又求得的面积为，

所以由，得点到平面的距离为.

【点睛】

此题考查线面平行的证明和计算点到平面的距离，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，根据定理进行推理证明，常用转换三棱锥顶点利用等体积法求点到平面距离.

19．为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表所示：

相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表所示：

根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：

①根据行驶里程数按1元/公里计费;

②行驶时间不超过45分钟，按元/分计费；超过45分钟，超出部分按元/分计费.

（1）是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；

（2）根据表（2）中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；

（3）若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30~60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算.

附：

【答案】（1）有的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）36分钟；（3）分类讨论，详见解析.

【解析】（1）完成表格数据，根据公式计算的值，即可判定；

（2）计算出表格中每组频率根据，即可得解；

（3）写出打车上班花费的函数关系，分类讨论得解.

【详解】

（1）依题意，完善表（1）如下所示：

故有的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.

（2）依题意，表（2）中的数据整理如下：

故所求平均使用时间为（分钟）

（3）当时，，

当时，

得

当时，

当时，

令，解得

故当时，使用新能源租赁汽车上班更加合算，当时，使用滴滴打车上班更加合算；

当时，使用滴滴打车上班更加合算，

当时，两种方案情况相同.

【点睛】

此题考查独立性检验，根据频率分布表计算平均数，根据函数模型解决优化问题，关键在于熟练掌握相关计算公式求解.

20．已知离心率为的椭圆过点，直线与椭圆交于两点，其中.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，且，探究：直线是否过定点；若是，请求出定点的坐标，若不是，请说明理由.

【答案】（1）；（2）过定点.

【解析】（1）根据离心率和椭圆经过的点，建立方程组即可求解；

（2）设直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理结合建立等量关系求解.

【详解】

（1）依题意，

解得

故椭圆的方程为

（2）由（1）可知

联立得

即

又

，即

即

解得或，且均满足

当时，直线的方程为，直线恒过，舍去；

当时，直线的方程为，直线恒过；

综上所述，直线过定点.

【点睛】

此题考查求椭圆的标准方程，解决直线过定点问题，关键在于熟练掌握直线与椭圆位置关系常用解题方法，利用韦达定理整体处理.

21．已知函数

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为，若，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；

（2）根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值.

【详解】

（1）依题意，，

故而.

故所求切线方程为

即

（2）依题意，

故

显然，令，解得或

因为极大值，故

此时，函数

所以

令，得

当变化时，，变化情况如下表：

所以函数的最大值为

【点睛】

此题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线交于两点，求直线的极坐标方程.

【答案】（1）的极坐标方程为；的直角坐标方程为；（2）.

【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化方式和极坐标方程与直角坐标方程的转换方法化简可得；

（2）根据（1）联立方程得公共弦所在直线化为极坐标方程即可得解.

【详解】

（1）依题意，即

曲线，故

即曲线的极坐标方程为；

曲线，即，

则曲线的直角坐标方程为.

（2）联立

两式相减可得，

即，故，

即直线的极坐标方程为；

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，根据两个圆的关系求公共弦所在直线方程，关键在于熟练掌握通式通法.

23．已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；

（2）分离参数等价转化为恒成立，求解的值域即可得解.

【详解】

（1）依题意，

当时，原式化为，

故，解得；

当时，原式化为

故，解得；

综上所述，不等式的解集为

（2）依题意，

即

对恒成立

令

故实数的取值范围是

【点睛】

此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.