2020届百校联盟高考复习全程精练模拟（全国Ⅰ卷）数学（文）试题（解析版）

2020届百校联盟高考复习全程精练模拟（全国i卷）数学（文）试题

一、单选题

1．设复数，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数的几何意义得到所在象限，即可求得答案.

【详解】

在复平面内对应的点为第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的运算、复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

2．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】化简集合，根据并集定义，即可求得答案.

【详解】

又，

.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，解题关键是掌握并集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

3．已知，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据对数函数单调性，即可求得答案.

【详解】

，

，

.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了对数比较大小，解题关键是掌握对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

4．为了调查高一学生在分班选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查100名高一学生，得到列联表如下：

由此得出的正确结论是（    ）

A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“选择物理与性别无关”

C．有的把握认为“选择物理与性别有关”

D．有的把握认为“选择物理与性别无关”

【答案】A

【解析】根据列联表，计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论；

【详解】

根据列联表，

可得，

由于，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了独立性检验，解题关键是掌握卡方运算基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

5．设变量，满足约束条件则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数可看作是可行域内的点到距离的平方的最小值，即可求得答案.

【详解】

变量，满足约束条件

画出可行域，

可看作是可行域内的点到距离的平方的最小值

根据图象可知，的最小值是到距离的平方.

根据点到直线距离公式可得：到距离为

故选：D.

【点睛】

本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解.

6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（    ）

A．120 B．145 C．270 D．285

【答案】B

【解析】记第个五角形数为，由题意知：可得，根据累加法，即可求得答案.

【详解】

记第个五角形数为，

由题意知：

可得，

由累加法得，

.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了根据累加法其数列通项公式，解题关键是掌握数列基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，先判断函数的奇偶性，结合当时，函数值的为正，即可求得答案.

【详解】

，

为奇函数，排除C，

当时，，排除B,D，

故只有A符合题意

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了根据函数表达式求解函数图象问题，解题关键是掌握判断函数奇偶性的方法和函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

8．在中，，，为中点，，将沿翻折，得到直二面角，连接，是中点，连接，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．平面 D．平面

【答案】C

【解析】设，在折叠前在中，，，根据余弦定理可得：，结合已知，逐项判断，即可求得答案.

【详解】

设

在折叠前在中，，，

根据余弦定理可得：

为中点，

故

又中，

可得

在折叠前图形中取中点，连接

，，

又

不平行①

对于C，，将沿翻折，得到直二面角，

,

故面，故C正确；

对于A，在

由

在

又

故不垂直，故A错误；

对于B，是中点，中点

假设

可得面面

进而可得 ，与结论①相矛盾

故假设错误，故B错误.

对于D，是中点，中点

假设平面

可得面面

进而可得，与结论①相矛盾

故假设错误，故D错误.

综上所述，正确的是C

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线线位置关系和线面位置关系，解题关键是掌握线面平行判定和线面垂直判定定理，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

9．设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据，化简，根据均值不等式，即可求得答案；

【详解】

当时，

，

当且仅当时，即取等号，

.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

10．已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，交准线于点.若，，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，画出图象，根据，可得是线段的中点，故，即可求得答案.

【详解】

过做准线的垂线，垂足为轴与准线交点为，

画出图象：

可得是线段的中点

故

设，

则，

，

求得.

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是掌握抛物线定义和向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

11．若点在函数的图象上，且．给出关于的如下命题：的最小正周期是；的对称轴为；。其中真命题的个数是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为在函数的图象上，可求得，根据，，可求得，即可求得，逐项判断命题，即可求得答案.

【详解】

在函数的图象上

即 ，

又

，

 ，

对于命题，

命题为假命题；

对于命题，对称轴为，

命题为真命题；

对于命题，，

命题为真命题.

故正确命题个数为：

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是掌握正弦函数的图象特征和三角函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

12．设，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先判断函数的奇偶性和函数的单调性，结合已知，即可求得答案.

【详解】

对任意，

为偶函数.

显然在递增，在递减，

，

两边平方得，

整理得

，

解得，

的最大值为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握奇偶性和单调性结合求解不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知，，若，则_______.

【答案】

【解析】因为，，，所以，即可求得答案.

【详解】

，，，

，

解得，

，

故.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求向量的模长，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于常考题.

14．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.

【答案】

【解析】根据三人均等可能的前往三个城市之一，可得共有种选择情况，他们选择同一城市有种情况，即可求得答案.

【详解】

三人均等可能的前往三个城市之一

共有种选择情况，

他们选择同一城市有种情况，

概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求事件概率问题，解题关键是掌握概率计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

15．锐角的内角的对边分别是，，，则=_______.

【答案】

【解析】因为根据余弦定理可得，结合已知，即可求得答案.

【详解】

根据余弦定理可得：

又，

，

可得

即：

由正弦定理知，

又，

，

根据是锐角

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了根据正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理和边角互换的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

16．已知分别是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于的动点，若直线的斜率分别为，始终满足，其中，则的离心率为________.

【答案】

【解析】设，，.根据，可得，，结合已知，即可求得答案.

【详解】

设，，

.

，

又，

，

即，结合题意可知不成立，

当，

可得

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了求双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的定义和对数方程的解法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

三、解答题

17．数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列.

（1）证明：是数列中的一项；

（2）记为数列的前项和，求数列的前项和.

【答案】（1）详见解析；（2） .

【解析】（1）由题设数列的公差为，则，结合题意，即可求得答案；

（2）由（1）可得，所以，即可求得答案.

【详解】

（1）由题设数列的公差为，

则

解得：或（舍去）

其中，

是数列中的一项

（2）由（1）可得，

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式和求数列前项和，解题关键是掌握等差数列基础知识和“裂项求和”的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

18．如图，在四棱锥中，底面，， ，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求四棱锥的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）要证平面平面，只需证明平面，即可求得答案；

（2）由（1）可知，，即，可得，结合已知，根据椎体体积公式，即可求得答案.

【详解】

（1）为平行四边形.

且

，

点为的中点

，

，，

又底面，

得

，平面

平面

又平面，

平面平面

（2）由（1）可知

，即，

又由题可知，

又由底面，平面，

可得，

平面，

又

点到平面的距离为，

【点睛】

本题主要考查了求证面面垂直和求椎体体积，解题关键是掌握面面垂直判断定理和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

19．某小型水库的管理部门为研究库区水量的变化情况，决定安排两个小组在同一年中各自独立的进行观察研究.其中一个小组研究水源涵养情况.他们通过观察入库的若干小溪和降雨量等因素，随机记录了天的日入库水量数据（单位:千），得到下面的柱状图（如图甲）.另一小组则研究由于放水、蒸发或渗漏造成的水量消失情况.他们通过观察与水库相连的特殊小池塘的水面下降情况来研究库区水的整体消失量，随机记录了天的库区日消失水量数据（单位:千），并将观测数据整理成频率分布直方图（如图乙）.

（1）据此估计这一年中日消失水量的平均值；

（2）以频率作为概率，试解决如下问题：

①分别估计日流入水量不少于千和日消失量不多于千的概率；

②试估计经过一年后，该水库的水量是增加了还是减少了，变化的量是多少？（一年按天计算），说明理由.

【答案】（1）23；（2）①日流入水量不少于千概率为，日消失量不多于千的概率；②减少了，理由详见解析.

【解析】（1）根据图乙所给数据，即可求得日消失水量的平均值，即可求得答案；

（2）①根据图甲所给数据，求得日流入水量不少于千的概率和日消失水量不多于千的概率. ②求得该湖区日进水量的平均值为，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）根据图乙，日消失水量的平均值为

（千）

（2）①根据图甲可得，日流入水量不少于千的概率为

日消失水量不多于千的概率为：

②该湖区日进水量的平均值为

（千）

一年后水库的水减少了.

减少的量为(千)

【点睛】

本题主要考查了根据频率直方图求数据的平均值和求事件概率，解题关键是掌握频率直方图求平均数的方法和概率的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

20．已知椭圆过点且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上存在三个不同的点，满足，求四边形的面积.

【答案】（1）；（2）12.

【解析】（1）根据椭圆过点且离心率为，可得，即可求得答案;

（2），由向量加法的意义得四边形为平行四边形.设所在直线，根本讨论直线垂直于轴和若直线不垂直于轴，结合已知，即可求得答案.

【详解】

（1）椭圆过点且离心率为

得

解得 ，

故椭圆方程为：

（2），

由向量加法的意义得四边形为平行四边形.

设所在直线，

①若直线垂直于轴，

可得或者

此时，四边形为菱形

②若直线不垂直于轴，

设，

由，消掉

可得

根据韦达定理可得：， 

，

代入椭圆方程，

化简得 

验证，

∴

点到直线的距离为

综上所述，四边形的面积始终为.

【点睛】

本题主要考查了求椭圆标准方程和椭圆中的四边形面积问题，解题关键是掌握椭圆定义和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

21．已知函数有两个零点．

（1）求的取值范围；

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）因为，可得，分别讨论和时的单调性，结合已知，即可求得答案；

（2）由（1）知，且，所以，设，则可化为，设，即可求得答案.

【详解】

（1）由题  

当时，，单调递增，不会有两个零点，

当，令，

解得：

且当时，单调递减，

当时，单调递增，

有两个零点，

则必须即，

解得，

当时，

当时，

有两个零点时

（2）由（1）知，且，

设，

则可化为，

设

 则

 在上单调递增.

  命题得证

【点睛】

本题主要考查了根据零点个数求参数范围和根据导数证明不等式，解题关键是掌握零点定义和根据导数证明不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，点是曲线：（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线分别交于两点，求的面积．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为曲线：，可得的直角坐标方程为，根据极坐标与直角坐标的互化公式:，结合已知，即可求得答案.

（2）由题意知点到射线的距离为，由（1）知的极坐标方程为，即可求得答案.

【详解】

（1）曲线：

的直角坐标方程为，

其极坐标方程为

设点的极坐标为，则对应的点的极坐标为

又点在上，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线

即的极坐标方程为               

（2）由题意知点到射线的距离为，

由（1）知的极坐标方程为，

，            

【点睛】

本题解题关键是掌握极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

23．已知函数．

（1）当时，求的解集；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）当时，．分别讨论，和时，即可求得答案；

（2）由（1）可知当时，在内恒成立；讨论和时，在上是否恒成立，即可求得答案.

【详解】

（1）当时，．

当时，，此时的解集为；

当时，，此时的解集为；

当时，，此时的解集为

综上所述的解集为：

（2）由（1）可知当时，在内恒成立；

当时，在内恒成立；

当时，在内，不满足在上恒成立的条件

综上所述.

【点睛】

本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.