2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题（解析版）
展开2020届北京市西城区高三第一次模拟考试数学试题
一、单选题
1．设集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直接求交集得到答案.
【详解】
集合，则.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．20
【答案】B
【解析】化简得到，再计算模长得到答案.
【详解】
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
3．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】
A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；
C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
4．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
5．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
6．设为非零实数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】
，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选：.
【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
7．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.
【详解】
如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，.
故选：.
【点睛】
本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
若，则与共线，且方向相同，充分性；
当与共线，方向相反时，，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.
9．已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）
①绕着轴上一点旋转;
②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【解析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
根据图像知：①③不正确；
故选：.
【点睛】
本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.
10．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
二、填空题
11．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)
【答案】
【解析】的展开式的通项为，取计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，取得到常数项.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.
12．若向量满足，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】根据题意计算，解得答案.
【详解】
，故，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
13．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】根据渐近线得到，，计算得到离心率.
【详解】
，一条渐近线方程为：，故，，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.
14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
【答案】
【解析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，故，当时，，
故，解得.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
15．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
【答案】②③
【解析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
三、解答题
16．如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证明.
(Ⅱ) 如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.
【详解】
(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
17．已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）
【答案】见解析
【解析】选择①时：,，计算，根据正弦定理得到，计算面积得到答案；选择②时，，，故，为钝角，故无解；选择③时，，根据正弦定理解得，，根据正弦定理得到，计算面积得到答案.
【详解】
选择①时：,，故.
根据正弦定理：，故，故.
选择②时，，，故，为钝角，故无解.
选择③时，，根据正弦定理：，故，
解得，.
根据正弦定理：，故，故.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:
(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.
(Ⅱ) 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.
【详解】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：
.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
【点睛】
本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析
【解析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.
(Ⅱ) ，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.
【详解】
(Ⅰ)，故，
，故.
(Ⅱ) ，即，存在唯一零点，
设零点为，故，即，
在上单调递减，在上单调递增，
故
，
设，则，
设，则，单调递减，
，故恒成立，故单调递减.
，故当时，.
【点睛】
本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.
20．设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积.
(Ⅱ) 设为，联立方程得到，计算，同理，根据得到，得到证明.
(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到结论.
【详解】
(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21．对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
