2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(解析版)
展开2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题 一、单选题1.集合,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.2.已知复数是正实数,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除; B. ,值域为,奇函数,排除;C. ,值域为,奇函数,满足; D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为,若,则( )A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【解析】根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.5.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,则,所以,故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.6.设为非零实数,且,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.【详解】,故,,故正确;取,计算知错误;故选:.【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.故,,.故,故,.故选:.【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为( )A. B. C. D.4【答案】D【解析】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )①绕着轴上一点旋转; ②沿轴正方向平移;③以轴为轴作轴对称;④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.【详解】,,,当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;,,故,函数关于对称,故④正确;根据图像知:①③不正确;故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.【详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,,故,且.故.故选:.【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键. 二、双空题11.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下:根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________.②_________________________________________________.【答案】甲省比乙省的新增人数的平均数低 甲省比乙省的方差要大 【解析】直接根据折线图得到答案.【详解】根据折线图知:①甲省比乙省的新增人数的平均数低;②甲省比乙省的方差要大.故答案为:甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、填空题12.在二项式的展开式中,的系数为________.【答案】60【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式的展开式通项为:,取,则的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.13.若向量满足,则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】根据题意计算,解得答案.【详解】,故,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增,则的最大值为________.【答案】 【解析】直接计算得到答案,根据题意得到,,解得答案.【详解】,故,当时,,故,解得.故答案为:;.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.集合,,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________①的值可以为2;②的值可以为;③的值可以为;【答案】②③【解析】根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算:,得到,,得到答案.【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,集合:,故,即或,集合:,是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故所在的直线的倾斜角为,,故:,解得,此时,,此时.故答案为:②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键. 四、解答题16.已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:①函数的周期为;②是函数的对称轴;③且在区间上单调.(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;(Ⅱ)若,求函数的值域.【答案】(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函数值域.【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,则,,,若①③成立,则,,不合题意,若②③成立,则,,与③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由题意得,,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17.在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.,,.故分布列为: .(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析【解析】(Ⅰ)求导得到,,解得答案.(Ⅱ) ,故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,设零点为,故,即,在上单调递减,在上单调递增,故,设,则,设,则,单调递减,,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析【解析】(Ⅰ)计算得到故,,,,计算得到面积.(Ⅱ) 设为,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.(Ⅲ) 设中点为,根据点差法得到,同理,故,得到结论.【详解】(Ⅰ),,故,,,.故四边形的面积为.(Ⅱ)设为,则,故,设,,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)设中点为,则,,相减得到,即,同理可得:的中点,满足,故,故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数,如果个整数满足,且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ,,,,;(Ⅱ) 为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时, 根据对应关系得到,再计算,,得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;当为奇数时,时,最大为;综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,故.综上所述:.当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,故;当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.综上所述:使成立的为:或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.