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    2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(解析版)

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    2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(解析版)

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    2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题  一、单选题1.集合,则    A B C D【答案】A【解析】计算,再计算交集得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.2.已知复数是正实数,则实数的值为(    )A B C D【答案】C【解析】将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(    A B C D【答案】C【解析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除;    B. ,值域为,奇函数,排除;C. ,值域为,奇函数,满足;    D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;故选:.【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.4.设等差数列的前项和为,若,则    A10 B9 C8 D7【答案】B【解析】根据题意,解得,得到答案.【详解】,解得,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.5.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线轴正半轴所成的最小正角为,则等于(    )A B C D【答案】A【解析】设直线直线轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,,利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图,设直线直线轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上,所以依题有,所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.6.设为非零实数,且,则(    A B C D【答案】C【解析】,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.【详解】,故,故正确;,计算知错误;故选:.【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则(    ABCD【答案】D【解析】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件..,故.故选:.【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为(    A B C D4【答案】D【解析】如图所示:过点垂直准线于,交轴于,则,设,则,利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示:过点垂直准线于,交轴于,则,则,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有(    绕着轴上一点旋转; 沿轴正方向平移;轴为轴作轴对称;轴的某一条垂线为轴作轴对称.A①③ B③④ C②③ D②④【答案】D【解析】计算得到,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.【详解】当沿轴正方向平移个单位时,重合,故正确;,函数关于对称,故正确;根据图像知:①③不正确;故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是(    A B C D【答案】B【解析】画出函数图像,根据图像知:,计算得到答案.【详解】,画出函数图像,如图所示:根据图像知:,故,且..故选:.【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.  二、双空题11.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份新冠肺炎疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从27日到213日一周的新增新冠肺炎确诊人数的折线图如下:根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________.②_________________________________________________.【答案】甲省比乙省的新增人数的平均数低    甲省比乙省的方差要大    【解析】直接根据折线图得到答案.【详解】根据折线图知:甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大.故答案为:甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大.【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、填空题12.在二项式的展开式中,的系数为________.【答案】60【解析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式的展开式通项为:,则的系数为.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.13.若向量满足,则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】根据题意计算,解得答案.【详解】,故,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增,则的最大值为________.【答案】        【解析】直接计算得到答案,根据题意得到,解得答案.【详解】,故,当时,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15.集合,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________的值可以为2的值可以为的值可以为【答案】②③【解析】根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算,得到,得到答案.【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,集合,故,即集合是平面上正八边形的顶点所构成的集合,所在的直线的倾斜角为,故解得,此时,此时.故答案为:②③.【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键. 四、解答题16.已知函数)满足下列3个条件中的2个条件:函数的周期为是函数的对称轴;且在区间上单调.)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;)若,求函数的值域.【答案】)只有①②成立,;(.【解析】)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.得到,得到函数值域.【详解】)由可得,;由得:得,①②成立,则①③成立,则,不合题意,②③成立,则中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.)由题意得,所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.17.在四棱锥的底面中,平面的中点,且)求证:平面)求二面角的余弦值;)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.【答案】)详见解析;(;()存在,点为线段的中点.【解析】)连结,则四边形为平行四边形,得到证明.)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.)设,计算,根据垂直关系得到答案.【详解】)连结,则四边形为平行四边形.平面.平面四边形为正方形.所以两两垂直,建立如图所示坐标系,设平面法向量为,则连结,可得,又所以,平面平面的法向量设二面角的平面角为,则.)线段上存在点使得,设所以点为线段的中点.【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.182019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析,(Ⅲ)【解析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:..故分布列为: .(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:时,.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析【解析】(Ⅰ)求导得到,解得答案.(Ⅱ) ,故上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(Ⅰ),故,故.(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,设零点为,故,即上单调递减,在上单调递增,,则,则单调递减,,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;(Ⅲ)(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析【解析】(Ⅰ)计算得到故,计算得到面积.(Ⅱ) ,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.(Ⅲ) 中点为,根据点差法得到,同理,故,得到结论.【详解】(Ⅰ),故.故四边形的面积为.(Ⅱ),则,故,故同理可得,故,故.(Ⅲ)中点为,则相减得到,即同理可得:的中点,满足,故四边形不能为矩形.【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.对于正整数,如果个整数满足,则称数组的一个正整数分拆”.均为偶数的正整数分拆的个数为均为奇数的正整数分拆的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数,设的一个正整数分拆,且,求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.(:对于的两个正整数分拆,当且仅当时,称这两个正整数分拆是相同的.)【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 为偶数时,为奇数时,(Ⅲ)证明见解析,【解析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时, 根据对应关系得到,再计算,得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有正整数分拆为:.(Ⅱ)为偶数时,时,最大为为奇数时,时,最大为综上所述:为偶数,最大为为奇数时,最大为.(Ⅲ)为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故为偶数时,设是每个数均为偶数的正整数分拆则它至少对应了的均为奇数的正整数分拆.综上所述:.时,偶数正整数分拆,奇数正整数分拆时,偶数正整数分拆,奇数正整数分拆时,对于偶数正整数分拆,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为正整数分拆,故.综上所述:使成立的为:.【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 

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