2020届甘肃省临夏市临夏中学高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题（解析版）

2020届甘肃省临夏市临夏中学高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求出集合B再求出交集.

【详解】

，

∴，则，

故选A．

【点睛】

本题考查了集合交集的求法，是基础题.

2．在复平面内,复数对应的点的坐标为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据复数除法运算求得，根据复数几何意义可得结果.

【详解】

    对应的点的坐标为：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.

3．已知向量，向量，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直接利用向量平行的坐标表示求m的值.

【详解】

由题得.

故选：B

【点睛】

本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．设，，，则(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.

【详解】

,

,

,

,故选C.

【点睛】

本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.

【详解】

运行第一次， ， ，

运行第二次， ， ，

运行第三次， ， ，

结束循环，输出 ，故选B.

【点睛】

本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.

6．若，则的值为（   ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】利用平方差公式以及二倍角的余弦公式化简原式，再将代入即可.

【详解】

，

因为，

，故选B.

【点睛】

二倍角的余弦公式具有多种形式，是高考考查的重点内容之一,此类问题往往是先化简，再求值.

7．函数y=sin2x的图象可能是

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为(    )

A. B. C. D.2

【答案】D

【解析】利用双曲线的渐近线方程,推出的关系,然后求解双曲线的离心率即可.

【详解】

双曲线的一条渐近线方程为,

可得,即,解得,
故选D.

【点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于基础题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.

9．已知正方体内有一个内切球O，则在正方体内任取点M，点M在球O内的概率是(　　)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】先求出正方体的内切球的体积以及正方体的体积,再利用几何概型概率公式求解.

【详解】

设正方体的棱长为2，则其体积为8，
正方体的内切球的半径是其棱长的一半,  
其体积为, 
则点在球内的概率是，故选C.

【点睛】

本题主要考查球的体积公式以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型.

10．函数的图像在处的切线方程是（    ）.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】求出导函数，将代入可得切线斜率，结合选项可得结果.

【详解】

,

,

所以切线斜率,

只有选项D中直线斜率为,故选D.

【点睛】

本题主要考查利用导数求切线的斜率，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.

11．已知直线和点恰好是函数的图象的相邻的对称轴和对称中心，则的表达式可以是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由题意，，又，∴．，，故选B．

【考点】三角函数的图象与五点法．

12．设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）

=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=＞0，利

用其单调性即可得出．

【详解】

函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．

6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．

令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，

∵x∈（0，4]时，，

∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，

∴f（1）＜＜，

可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．

故答案为：A

【点睛】

本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能

力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g（x）=，x∈（0，4]，并求出函数的单调性.

二、填空题

13．已知函数则__________．

【答案】-2

【解析】先计算出,再求得解.

【详解】

由题得，

所以=f(-2)=.

故答案为：-2.

【点睛】

本题主要考查对数和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

14．若，那么的最小值是________.

【答案】

【解析】由对数的运算性质可得,由基本不等式可得,从而求得的最小值.

【详解】

,即,，
由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,

故的最小值是 ,
故答案为.

【点睛】

本题考查对数的运算性质,以及基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件.

15．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．

【答案】

【解析】在中，由余弦定理可得：，

即，解得，

故的面积．

16．半径为4的球的球面上有四点A,B,C,D，已知为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____________________．

【答案】

【解析】分析：求出△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可．

详解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，

球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：

O′C=，OO′=，

则三棱锥D﹣ABC高的最大值为6，

则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：

故答案为：．

点睛：（1）本题主要考查球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力. (2)本题求体积的最大值，实际上是求高的最大值，所以求高是关键.

三、解答题

17．已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.

 (1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1）an＝.（2）Tn＝2n－1.

【解析】试题分析：(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.

试题解析:

(1)设{an}的公差为d，由已知得

解得a1＝1，d＝，

故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.

设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，

故{bn}的前n项和Tn＝＝2n－1.

点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错．

18．如图，直三棱柱中，,,,点是的中点.

（1）求证：//平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接交与，则为的中点，利用三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等积变换可得，再利用棱锥的体积公式可得结果.

【详解】

（1）连接交与，则为的中点，

又为的中点，

，

又因为平面，

平面，

平面；

（2）因为，直三棱柱中，

,,，

且点是的中点

所以

.

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.

19．某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成.该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.

 (1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95％的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”? 

（2)利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率.

【答案】（1）没有把握；（2）.

【解析】(1)根据所给数据以及等高条形图可完成列联表,利用公式求出，与临界值比较即可得结论； (2)利用列举法，确定基本事件的个数以及符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式可求出恰好有1名城镇居民的概率.

【详解】

(1)完成列联表,如下: 

代入公式,得观测值: 

我们没有的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关”. 
(2)城乡户口与农村户口比为，抽取5人中城镇户口的有3人，

设为，农村户口的有2人，设为，

5人选2人共有，10种选法，

其中恰有1名城镇户口的有，6种，

所以恰有1名城镇居民的概率为.

【点睛】

本题主要考查独立性检验以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生

20．已知椭圆的离心率为，点在上

（1）求的方程

（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.

【答案】（1）    （2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.

试题解析：

解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）设直线,,把代入得

故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

【考点】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.

21．已知函数， .

（1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）.（2）

【解析】试题分析：(1) 求出函数的导函数，解出函数的单调区间，通过研究函数的极值和边界值得到函数的最大值，求出实数的值；

(2)把 整理，分离出参数a,得到，把右边构造一个函数 ，求出的最小值，问题可解.

试题解析：

（1）由，得 ，

令，得或.

函数， 在上的变化情况如下表：

， ， .

即最大值为， .

（2）由，得.

， ，且等号不能同时取得， ，即.

恒成立，即.

令， ，则.

当时， ， ， ，从而.

在区间上为增函数， ， .

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：（是参数，是常数）。以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2) 若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值。

【答案】（1）,;(2) 或.

【解析】试题分析：（1）先根据加减消元得直线的普通方程，再 根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求实数的值.

试题解析：（1）因为直线的参数方程是: (是参数)，

所以直线的普通方程为．

因为曲线的极坐标方程为，故 ，所以

所以曲线的直角坐标方程是

(2)设圆心到直线的距离为，则，

又，

所以，即 或

23．已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；

（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.

【详解】

（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.