2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学（文）试题（解析版）

2020届甘肃省天水市第一中学高三上学期第一次考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

，则

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．已知平面向量，，且，则实数的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出的坐标，再由向量共线，列出方程，即可得出结果.

【详解】

因为向量，，所以，

又，所以，解得.

故选B

【点睛】

本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.

3．“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由可推出，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】

若，则，所以，即“”不能推出“”，反之也不成立，因此“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选D

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.

4．在等差数列中，为其前n项和，若，则（    ）

A．60 B．75 C．90 D．105

【答案】B

【解析】由条件，利用等差数列下标和性质可得，进而得到结果.

【详解】

，即，而，故选B.

【点睛】

本题考查等差数列的性质，考查运算能力与推理能力，属于中档题.

5．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】∵是偶函数

∴

当时，，又

∴

故选D

6．如右图所示的图象对应的函数解析式可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据图像判断函数的定义域可排除B,C选项，对于选项D分析函数值的正负可得出错误，对选项A可通过求导，求出单调区间，极值，函数值的正负，可判断正确.

【详解】

选项A：，

令，

，函数的单调递增区间是，

单调递减区间是，函数的极大值点为，

极小值点为，函数的零点为，

，，

故选项A满足题意；

选项B：函数定义域为，不合题意；

选项C：函数的定义域为，不合题意；

选项D：当，不合题意.

故选:A

【点睛】

本题考查了函数的图像和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与值域的图像特征，是综合性题目.

7．已知，有解，，则下列选项中是假命题的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分别判断、q命题的真假，然后判断选项即可.

【详解】

∵恒成立，∴对，有解．所以p是真命题.取，满足，∴q也是真命题.∴是假命题，故选B．

【点睛】

本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.

8．同一平面上三个单位向量两两夹角都是，则与的夹角是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据向量的数量积，可得，，然后利用向量的夹角公式，可得结果.

【详解】

由

,

所以,,

则

所以

即.

设与的夹角为,

则,

又,

所以与的夹角为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查向量的夹角公式，属基础题.

9．已知数列的前项和满足(）且，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N）且a1=5，令m=1，可得Sn+1=Sn+S1，可得an+1=5．即可得出．

【详解】

数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N）且a1=5，

令m=1，则Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得an+1=5．

则a8=5．

故选C．

【点睛】

本题考查了数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，进而得解．

【详解】

=2sinωx，

∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．

又∵函数在[]上递增，

∴[﹣，]⊇[]，

∴得不等式组：﹣≤，且≤，

又∵ω＞0，

∴0＜ω≤ ，

又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，

根据正弦函数的性质可知 且

可得ω∈[，．综上：ω∈

故选：B．

【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．

11．如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（    ）

A． B．12 C．6 D．5

【答案】D

【解析】取的中点，且为的外心，可知 ，所求 ，由数量积的定义可得 ，代值即可．

【详解】

如图所示，取的中点，且为的外心，可知，

∵是边的中点，∴ .

，

由数量积的定义可得 ，

而 ，故；

同理可得 ，

故.

故选D．

【点睛】

本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．

12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，，则的解集为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于函数为奇函数，并且在上有定义，利用求出的值.然后解这个不等式，求得的取值范围.

【详解】

由于函数为奇函数，并且在上有定义，故，解得，故当时，，这是一个增函数，且，所以，故，注意到，故.根据奇函数图像关于原点对称可知，当时，，.综上所述，.故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.

二、填空题

13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．

【答案】-1

【解析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．

【详解】

∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，

幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为﹣1．

【点睛】

本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

14．将函数的图像向左平移个单位长度得到的图像，则的值为________．

【答案】

【解析】根据三角函数图像变换法则可得,进而求值即可

【详解】

由题意,,

当时,,

故答案为：

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换,考查三角函数值的计算

15．若为数列的前项和，且，则等于________．

【答案】63

【解析】根据和关系得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，再利用公式得到答案.

【详解】

当时，，得，

当时，，，

两式作差可得：，则：，

据此可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，

其前6项和为．

故答案为63．

【点睛】

本题考查了等比数列的前N项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.

16．在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．

【答案】

【解析】【详解】

以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为.

【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便．

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.

试题解析：（1）由已知可得

（2）

又

，

的周长为

【考点】正余弦定理解三角形.

18．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？

(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.

参考数据：

参考公式： ，其中.

【答案】（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）；（3）.

【解析】（1）计算的值，对比题目所给参考数据可以判断出没有把握认为“微信控”与“性别”有关.（2）女性用户中，微信控和非微信控的比例为，由此求得各抽取的人数.（3）利用列举法以及古典概型概率计算公式，求得抽取人中恰有人是“微信控”的概率.

【详解】

解：（1）由2×2列联表可得：

，

所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；

（2）根据题意所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人；

（3）设事件“从（2）中抽取的5位女性中，再随机抽取3人，抽取3人中恰有2人是“微信控””

抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为；

“非微信控”2人分别记为.

则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：，共有10种；

抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：，共有6种，

所以.

【点睛】

本小题主要考查联表独立性检验的知识，考查分层抽样，考查利用列举法求古典概型，属于中档题.

19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB＝2，EF＝1．

（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；

（II）若BC＝1，求四棱锥F－ABCD的体积．

【答案】（I）见解析;（II）.

【解析】（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.（II）矩形所在平面和圆所在平面垂直，点到边的距离即为四棱锥FABCD的高，然后利用锥体体积公式求得四棱锥的体积.

【详解】

（I）

∵AB为圆O的直径，点F在圆O上

∴AF⊥BF                                                            

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直且它们的交线为AB，CB⊥AB

∴CB⊥圆O所在平面                                                           

∴AF⊥BC                                                               

又BC、 BF为平面CBF上两相交直线

∴AF⊥平面CBF                                                       

又

∴平面DAF⊥平面CBF．                                               

（II）连接OE

    ∵AB＝2，EF＝1，ABEF

∴OA＝OE＝1，即四边形OEFA为菱形                   

∴AF＝OA＝OF＝1                                                   

∴等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直

∴点F到边OA的距离即为四棱锥F－ABCD的高

∴四棱锥F－ABCD的高                                           

又BC＝1

∴矩形的ABCD的面积SABCD＝                       

∴

【点睛】

本小题考查空间两个平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法.要证明两个平面垂直，则需要在一个平面内找到另一个平面的垂线来证明.属于中档题.

20．已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足．

求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．

（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．

【详解】

(1) 因为

即

所以

所以

又因为,所以

即:,即

所以椭圆的标准方程为

 (2) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为

联立直线和椭圆方程

得:

由,得

设

以直径的圆恰过原点

所以,

即

也即

即

将(1)式代入,得

即

解得,满足（）式，所以

所以直线

21．已知函数（）的图象在处的切线为（为自然对数的底数）

（1）求的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.

【答案】(1)a=-1,b=1;(2)-1.

【解析】（1）对求导得，根据函数的图象在处的切线为，列出方程组，即可求出的值；（2）由（1）可得，根据对任意恒成立，等价于对任意恒成立，构造，求出的单调性，由，，，，可得存在唯一的零点，使得，利用单调性可求出，即可求出的最大值.

（1），.

由题意知.   

（2）由（1）知：，

∴对任意恒成立

对任意恒成立

对任意恒成立.

令，则.

由于，所以在上单调递增.

又，，，，

所以存在唯一的，使得，且当时，，时，. 即在单调递减，在上单调递增.

所以.

又，即，∴.

∴ .

∵ ，∴ .

又因为对任意恒成立，

又，∴ .                  

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

22．在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.

【答案】（1）；（2）2

【解析】（1）首先利用对圆C的参数方程（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设，联立直线与圆的极坐标方程，解得；设，联立直线与直线的极坐标方程，解得，可得．

【详解】

（1）圆C的普通方程为，又，

所以圆C的极坐标方程为.

（2）设，则由解得，，得；

设，则由解得，，得；

所以

【点睛】

本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.

23．已知函数

(1)当时,求不等式的解集；

(2)当的最小值为3时,求的最小值.

【答案】（1）；（2）3

【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a+b+c＝3，然后用基本不等式可得．

【详解】

（1），

∴或或，

解得.

（2） ，

.

当且仅当时取得最小值3.

【点睛】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．