2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）数学（文）试题（解析版）

2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（六）数学（文）试题  一、单选题1．已知集合,，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对集合和进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】集合，即，解得，所以集合.集合，，，解得，所以集合，所以.故选：C.【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据得到的值，从而得到复数，在得到复数的共轭复数.【详解】因为，所以，所以，解得，所以所以复数的共轭复数为.故选：A.【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.3．已知命题，，则命题的真假以及命题的否定分别为（    ）A．真，，B．真，，C．假，，D．假，，【答案】B【解析】根据命题，当时，判断出命题为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题的否定.【详解】命题，，当时，，所以命题为真命题；命题的否定为：，.故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.4．已知向量，，若，且，则实数的值为（    ）A．2 B．4 C．或2 D．或4【答案】C【解析】根据已知得到的坐标，然后根据，得到关于，的方程组，从而得到答案.【详解】向量，，所以，因为，，所以，解得或所以的值为或.故选：C.【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据框图得到和的变化规律，根据输出的的值为，得到时的值，从而得到判断语句，得到答案.【详解】根据框图可知，，，，，要使的输出值为，此时，所以判断框内的语句可以为.故选：B.【点睛】本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题.6．（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.7．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数的图象关于对称B．函数的图象关于对称C．函数的图象关于中心对称D．函数的图象关于中心对称【答案】D【解析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案.【详解】函数，所以，解得即函数的定义域为，若函数的对称中心横坐标为，或者对称轴为，则此时得到所以不是关于对称，.所以函数关于成中心对称.故选：D.【点睛】本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题.8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据平移，得到平移后的解析式，然后由对称轴为，得到的表达式，从而得到的最小值，确定出的解析式，再求出的单调递增区间.【详解】函数的图象向右平移个单位，得到，因为图象关于对称，所以，，整理得，，因为，所以当时，的最小值为，所以，，，解得，，所以的单调增区间为.故选：C.【点睛】本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于简单题.9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点时，取最小值，根据恒成立，得到关于的不等式，从而得到的范围，确定出答案.【详解】实数满足，根据约束条件，画出可行域，如图所示，将目标函数化为斜截式，根据选项可知的值为正，即直线斜率大于所以当直线过点时，在轴上的截距最大，即最小，解得，即此时因为恒成立，所以解得，所以不可取的值为.故选：A.【点睛】本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题.10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体的棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.【详解】根据三视图还原出几何体，为三棱锥，如图所示，根据三视图中的数据，可将几何体放入长为，宽为，高为的长方体中，则，为长方体侧棱的中点，所以由图可知三棱锥中，最短棱为.故选：B. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的离心率，求出的值，得到椭圆的标准方程，然后根据，结合，得到的坐标表示，得到关于的函数，结合的范围，得到答案.【详解】椭圆的，其离心率为，所以，所以，所以，所以椭圆标准方程为，设，，则因为，所以，所以所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为当时，取得最小值为，所以.故选：A.【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.12．已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据参变分离变形为在恒成立，设，利用导数求函数的最大值.【详解】第一种解法（秒杀）：令时，化简：；令时，，化简你还可以在算出3,4，选择题排除法.B为最佳选项.第二种解法（常规）：构造   求导，令，即，再令，在，，在上是单调递减，设点，在递增；在递减，所以=，，，所以m的最小值是2.故选：B【点睛】本题考查导数研究函数问题的综合应用，重点考查了不等式恒成立，求参数的最小整数问题，选择题代特殊值是比较快速的方法，如果是解答题，需要有严谨的推理过程，本题求函数的最大值，需要二次求导，并且根据零点存在性定理估算最值点（极值点）的范围.  二、填空题13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为_____________.【答案】253【解析】根据，共有个数，则所求为这一行的倒数第个数，找到每一行倒数第个数的规律，从而得到所求.【详解】当时，共有个数，从左往右第个数即为这一行的倒数第个数，观察可知，每一行倒数第个数（从第行，开始）为，，，，，，即为，，，，，，，所以当时，左往右第个数为.故答案为：.【点睛】本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线的离心率为；  ②双曲线与椭圆共焦点；  ③双曲线右支上的一点到的距离之差是虚轴长的倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线的方程为_____________.【答案】【解析】根据题意得到双曲线的渐近线，然后根据右焦点到渐近线的距离为，得到，①根据离心率得到关系，结合，求出，从而得到双曲线方程；②求出椭圆的焦点，从而得到，结合，求出，从而得到双曲线方程；③根据题意得到，由双曲线的定义得到，从而得到双曲线方程.【详解】依题意，双曲线渐近线方程为，即，右焦点到渐近线的距离为故，即；①双曲线的离心率为，故；又，且，所以得，故双曲线的方程为；②椭圆的焦点坐标为，故；又，故，故双曲线的方程为；③依题意，设双曲线的左、右焦点分别为，故，故，故双曲线的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求标准方程，根据双曲线的定义求标准方程，双曲线的几何性质，属于简单题.15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为_____________.【答案】【解析】根据已知条件，求出四棱锥中各棱的长度，四棱锥外接球的球心在平面的射影为中点，得到为中点，作，得到，，利用勾股定理得到关于的方程，解得的值，再求出半径的值，从而求出外接球的表面积.【详解】因为四边形为等腰梯形，，故；因为,,,，，故；取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心；设四棱锥外接球的球心为，所以在平面的射影为，作于，则为中点，因为平面平面，平面平面所以平面，而平面，所以由，可得在平面中，作，则，由，可得，即，解得，所以，所以四棱锥外接球的表面积为.、 故答案为：.【点睛】本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.16．如图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若，，，则四边形面积的最大值为_____________.【答案】【解析】设，在中，利用余弦定理，表示出，根据，得到，从而把的面积用表示，然后得到四边形面积关于的函数，从而得到其最大值.【详解】设，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以为等腰直角三角形，所以所以，所以当时，面积最大，最大值为.故答案为：【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题. 三、解答题17．已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据题意得到，根据是的等差中项，得到的值，从而得到的通项公式；（2）由（1）可知，利用等比数列的求和，得到，由恒成立，得到的取值范围.【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，故，所以；所以数列是公比为3的等比数列，因为是的等差中项，所以，所以，解得；数列的通项公式为； （2）由（1）可知，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.18．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，列出所有的情况，在得到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，故甲参加围棋比赛的概率为； （2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，则所有的可能为，，，，，，，，，，，，其中满足条件的有，两种，故所求概率.【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题19．已知四棱锥中，底面是直角梯形，，且，，为的交点，点在平面内的投影为点.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）根据题意可得，从而得到相似比，利用勾股定理得到的长，从而得到的长，从而证明，由平面，得到，从而得到平面，可以得到；（2）三棱锥转化为，然后根据（1）中所得线段长度，求出其体积.【详解】（1）因为，所以，所以，又因，，所以，所以因为，所以在中，，所以，在中，，所以，即；由题意可知平面，平面，所以； 又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，故，即； （2），的面积为所以.【点睛】本题考查平面几何的相关知识，线面垂直的性质和判定，等体积转化求三棱锥的体积，属于中档题.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，若，点关于直线的对称点在椭圆上.（1）求椭圆的方程与离心率；（2）过点做直线与椭圆相交于两个不同的点；若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据，得到，得到点关于直线的对称点，代入椭圆方程，求出，再得到，从而得到椭圆的标准方程和离心率；（2）当直线斜率不存在时，得到，直线斜率存在时，设为，与椭圆联立，得到的范围和，，从而表示出，得到其范围，再得到的取值范围.【详解】（1）因为，故，故椭圆，点关于直线的对称点为，将代入椭圆中，得解得，所以，所以椭圆的方程为，离心率； （2）当直线的斜率不存在时，，所以．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去整理得，由，可得，，所以，所以，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为．【点睛】本题考查根据的值求椭圆的标准方程和离心率，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，属于中档题.21．已知函数.（1）当时，求函数的极值点；（2）若时，证明：.【答案】（1）极小值点为，无极大值点； （2）见解析.【解析】（1）对求导，通过判断的正负，从而得到的极小值点为，无极大值点；（2）设，通过导数得到最大值，从而得到，设，利用导数得到最大值，再通过放缩得到，结合已经得到的结论，从而进行证明.【详解】（1）依题意，，故；可知，当时，；时，；故函数的极小值点为，无极大值点； （2）因为，令，故，可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在时取得极大值，并且也是最大值，即．又，所以．设，则，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，时，取得极大值，也是最大值，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，即.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用导数证明不等式，属于中档题.22．在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）；； （2）.【解析】（1）曲线的参数方程化简消参后得到普通方程，利用，对直线的极坐标方程进行化简，得到的直角坐标方程；（2）根据变换规则，得到变换后的曲线的方程，写出其参数方程，从而得到曲线上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）所以，两式平方后相加得，即曲线的普通方程为：.直线的极坐标方程为，即，因为，所以直线的直角坐标方程为：（2）曲线：向左平移2个单位，得到，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的得到，即曲线；所以曲线的参数方程为（为参数)，设曲线上任一点，则点到直线的距离为：则(其中)，当时，取最小值，为所以点到直线的距离的最小值为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）根据题意得到，可以先确定，从而去掉绝对值，化为一次不等式，得到解集；（2）分和，得到的分段形式，从而得到其最小值，然后根据恒成立，得到关于的不等式，解得的范围.【详解】（1）当时，不等式，即，因为，所以，所以由，得，解得，故不等式的解集为； （2）依题意，当，，故，因为不等式恒成立，所以，解得；当时，，故，因为不等式恒成立，所以，解得；综上所述，实数的值为.【点睛】本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.