2020届浙江省温州市高三下学期4月二模数学试题（解析版）
展开2020届浙江省温州市高三下学期4月二模数学试题
一、单选题
1．已知集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】计算，再计算并集得到答案.
【详解】
，则，
故.
故选：
【点睛】
本题考查了集合的补集和并集，属于简单题.
2．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.
3．设实数满足条件则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.
【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
4．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．设，则"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.
【详解】
，当时，，充分性；
当，取，验证成立，故不必要.
故选：.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】计算，根据对称性得到答案.
【详解】
展开式的通项为：，故，
，
根据对称性知：.
故选：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】计算得到，，代入双曲线化简得到答案.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，
故，，故，代入双曲线化简得到：，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8．如图，在中，点M是边的中点，将沿着AM翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】A
【解析】根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】
二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故，
故，故为中点.
故选：.
【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
9．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：.
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
10．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】B
【解析】计算，故，解得答案.
【详解】
当时，，即，且.
故，
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.
二、双空题
11．2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_______日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多________人.
【答案】
【解析】直接观察图像得到答案.
【详解】
根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，
2月8日新增确诊人数为：，新增治愈人数，故多人.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解能力和应用能力.
12．已知向量满足，则________，的上的投影等于________.
【答案】
【解析】计算，得到，再根据投影公式计算得到答案.
【详解】
，故；的上的投影等于.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.
13．在中，为的中点，若，，，则________，________
【答案】
【解析】计算，，根据正弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到，再根据正弦定理计算得到答案.
【详解】
，，故，
.
根据正弦定理：，即，.
，.
根据余弦定理：，故.
根据正弦定理：，解得.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、填空题
14．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．
【答案】
【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度．
【详解】
由三视图还原原几何体如下图所示：
该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，，，侧棱底面，
则该几何体的体积为，
，，
因此，该棱锥的最长棱的长度为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
15．已知实数满足则的最大值为________.
【答案】
【解析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】
根据柯西不等式：，故，
当，即，时等号成立.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
16．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.
【答案】
【解析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案.
【详解】
当四个盒子有球时：种；
当三个盒子有球时：种；
当两个盒子有球时：种.
故共有种，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.
17．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
四、解答题
18．设函数.
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
【答案】(I)；(II)
【解析】(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．在三棱锥中，为棱的中点，
(I)证明：；
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(I)证明见解析；(II)
【解析】(I) 过作于，连接，根据勾股定理得到，得到平面，得到证明.
(II) 过点作于，证明平面，故为直线与平面所成角，计算夹角得到答案.
【详解】
(I)过作于，连接，根据角度的垂直关系易知：
，，，故，
，.
根据余弦定理：，解得，故，
故，，，故平面，平面，
故.
(II)过点作于，
平面，平面，故，，，
故平面，故为直线与平面所成角，
，根据余弦定理：，
故.
【点睛】
本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
【答案】(I) ，；(II)
【解析】(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
21．如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列)
(I)试用表示：
(II)证明：原点到直线l的距离为定值.
【答案】(I) ；(II)证明见解析
【解析】(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【详解】
(I) 椭圆，故，
.
(II)设，，则将代入得到：
，故，
，
，故，得到，
，故，同理：，
由已知得：或，
故，
即，化简得到.
故原点到直线l的距离为为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．已知，设函数
(I)若，求的单调区间：
(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.
【答案】(I)详见解析；(II)
【解析】(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.
(II) ，故，取，，求导得到单调性，得到，得到答案.
【详解】
(I) ，，
当时，恒成立，函数单调递增；
当时，，，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增.
综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.
(II) 在上恒成立；
，故，
现在证明存在，，使的最小值为0.
取，，（此时可使），
，，
故当上时，，故，
在上单调递增，，
故在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述：的最大值为.
【点睛】
本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
