2020届重庆市康德卷高考模拟（一）数学（文）试题（解析版）

2020届重庆市康德卷高考模拟（一）数学（文）试题  一、单选题1．复数年复平面中所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限．【详解】，对应点，在第二象限．故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．2．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ）A． B．0 C．1 D．【答案】C【解析】求出，根据奇偶性求出【详解】当时，，所以，函数是定义在R上的奇函数，则.故选：C【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数值，属于简单题目，关键在于准确计算.3．已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（    ）A．2 B．-1 C．2或-1 D．-2或1【答案】C【解析】由向量共线的坐标运算求得．【详解】∵A，B，C三点共线，∴共线，∴，解得或．故选：C.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．4．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】分别求出集合，，再求解即可得解.【详解】集合，，则.故选：B【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出集合内部的元素.5．某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（    ）A．平均数 B．方差 C．中位数 D．极差【答案】B【解析】根据茎叶图计算各数据特征．【详解】由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99-80＝19，只有方差不相同了．故选：B.【点睛】本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键．6．设a，b是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下面推理中正确的是（    ）A．若，，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】B【解析】A选项也可能两个平面相交，B选项是根据面面平行证明线面平行，所以正确，C选项也可能两个平面相交，D选项应该是.【详解】考虑平面，显然也满足，，不能得出，所以AC都错误；若，，则，所以B正确；若，，，则，所以D错误.故选：B【点睛】此题考查空间线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握定理公理进行推导，可举出反例推翻命题排除选项.7．已知命题P：“若对任意的都有，则”，则命题P的否命题为（    ）A．若存在使得，则B．若存在使得，则C．若，则存在使得D．若，则存在使得【答案】B【解析】把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换．【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”.因此命题P的否命题是：若存在使得，则故选：B.【点睛】本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．8．由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为A． B． C． D．【答案】B【解析】由得圆的标准方程为，设圆心为，故，由切线性质可得，的最小值为，故的最小值为，故选B.点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等．【详解】，则，函数是偶函数，排除C，当较大时，，可排除A，当时，，，由，知在上递减，上递增，，又，，∴有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D符合，排除B．故选：D.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论．10．定义新运算“”：，则下列计算错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据新定义运算验证各选择支．【详解】由题中较小数的两倍减去较大的数，，A正确；若，则，B正确；，C正确；，D不正确.故选：D.【点睛】本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．11．既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（    ）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【解析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数．【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，，则公切线为：，，整理为：，，所以且，联立消去得：①，由得，或．令，则，或，故在上单减，在上单增，在上单减，当时，当时，当时，当时，因此在时，，故在内有唯一零点，在内有唯一零点，即①式中有两个不同解，即有两条公切线.【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．  二、填空题12．曲线在点处的切线的横纵截距之和为__________.【答案】【解析】到处导函数，再求出切线方程，即可得到横纵截距之和.【详解】由题：，，，所以在点处切线方程，即当，当，所以该切线的横纵截距之和为.故答案为：【点睛】此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算.13．若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________【答案】3【解析】【详解】试题分析：画出约束条件表示的可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可．解：由题意可知变量x，y满足约束条件的可行域为三角形区域，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点A，即y=x，3x+2y=5的交点A（1，1），时取得．所以目标函数的最大值为：3．故答案为3．【考点】线性规划点评：本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力．属于基础题14．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则___．【答案】2【解析】将已知等式根据诱导公式处理成结合正弦定理边化角计算得，即可得解.【详解】由题：在中，，.故答案为：2【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化求三角形的边长，关键在于根据和差公式准确化简.15．足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为__________.【答案】90【解析】根据截图方法，原有的棱没有减少，每个正三角形内增加三条棱，即可得解.【详解】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，每条棱属于两个面，所以共有条棱，此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，∴共有90条棱.故答案为：90【点睛】此题考查几何体结构的辨析，根据线面关系求棱的条数. 三、解答题16．如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且．（1）证明：平面BDE；（2）若是边长为2的等边三角形，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，证明平面平面EBD，即可证得线面平行；（2）转换锥体顶点即可求解.【详解】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，则，平面EBD.，∴，平面，∴平面平面EBD，∴平面；（2）设h为点到平面PAC的距离作于M．底面ABC，底面ABC，，是平面PAC内两条相交直线，∴平面PAC，．.【点睛】此题考查证明线面平行和求锥体体积，需要熟练掌握常见证明方法和求锥体体积的处理办法.17．已知数列满足：，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1），则代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.【详解】解：（1）设，由题，即，又，为等比数列，即为等比数列；（2）由（1）知，即，，，，，两式相减得，.【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．18．某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：体检次序第一次第二次第三次第四次第五次及以上收费比例10.950.900.850.8  该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：体检次数一次两次三次四次五次及以上频数60201244  假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．【答案】（1）40元；（2）【解析】（1）根据优惠方案算出三次体检医院的收入减去成本即可得到利润；（2）根据分层抽样可得抽出的5人中，有3人恰好体检三次，各有1人恰好体检四次五次，根据古典概型求解概率.【详解】解：（1）医院三次体检的收入为，三次体检的成本为，利润为元，故平均利润为40元； （2）由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为A，B，C，有一人恰体检四次，记为D，有一人恰体检至少五次，记为E，从五人中抽两个人出来，共有，，，，，，，，，10种情况其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有，，，，， 6种情况，所求概率为.【点睛】此题主要考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和古典概型的计算，熟练掌握基本概念准确求解.19．已知椭圆的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据离心率和焦距即可求得椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程，求出点E，F坐标，再求点N坐标，根据斜率关系证明垂直.【详解】解：（1）由题，，∴，，， 故椭圆方程为；（2）设，，，则与椭圆方程联立得，由得，，∴，即.【点睛】此题考查根据椭圆的基本量求椭圆方程，根据直线和椭圆的焦点坐标证明直线与直线的垂直关系，对计算能力要求比较高.20．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）【解析】（1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；（2）结合（1）得出最大值，构造函数，结合单调性求解.【详解】（1），考虑，当时，，在单调递增，当时，记的两根，结合可得：两根属于，时，，时，，的增区间为，减区间为，当时，开口向下，结合可得：时，，时，，的增区间为，减区间为，综上所述：当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）当时，当时，，所以，不满足对任意恒成立，当时，结合（1），的增区间为，减区间为，开口向下，结合可得：是方程的根，所以，所以，由题令，，易得时，，所以在单调递增，且，即，所以，，所以.【点睛】此题考查导函数的应用，处理函数单调性求最值，利用单调性解不等式，需要对代数式进行一定的观察，发现特殊值，便于转化求解，涉及分类讨论以及转化与化归思想.21．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.（1）求C的普通方程，并判断直线l与曲线C的公共点的个数；（2）若曲线C截直线l所得弦长为，求的值.【答案】（1），有两个交点；（2）0或.【解析】（1）由可得曲线的普通方程，由直线所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；（2）把直线的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率，即．【详解】解：（1），经过点，而点在圆的内部，与有两个交点；（2），设到的距离为，与交于点，中点为，，，或，或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题．求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长；②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为.22．已知函数，设不等式的解集为M.（1）求集合M；（2）若，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）对绝对值分段讨论求解不等式；（2）处理，即可得证.【详解】解：（1）当时，，不满足；时，，不满足；当时，；综上，；（2），，.【点睛】此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论的思想，证明不等式常见办法可以作差，也可单侧变形证明.