2020年4月普通高等学校招生全国统一考试（江苏模拟卷）（二）数学试题
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)
数学
注意事项：
1. 本试卷共160分，考试时间150分钟．
2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若(z＋)(z－)＝8i，则ab的值为________．
2. 已知集合M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，N＝，则M∩N＝________．
3. 某人打同一款游戏通关的时间分别为x，9，10，11，9(单位：min)，已知这组数据的平均数为10，则方差为________．
4. 某马戏团有大猩猩2只，猴子3只，现从中任选3只去外地参加表演，则大猩猩和猴子都被选中的概率为________．
(第5题)
5. 根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为________．
6. 已知等差数列{an}满足a5＝2，a11＝11，则a－a＝________．
7. 函数f(x)＝的定义域为________．
8. 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________．
9. 已知F1，F2是双曲线－＝1(0AB，则∠BAC的取值范围为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)已知向量a＝(sin x，cos x)，x∈[－π，π].
(1) 已知b＝(1，－)，若a，b所成的角为，求x的值；
(2) 已知c＝(，－1)，记f(x)＝(a＋c)·(a－2c)，求f(x)的值域．
16. (本小题满分14分)如图，在平行四边形ABCD中，已知直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
(1) 求证：直线AE∥平面BDF；
(2) 若∠AEB＝90°，求证：平面BDF⊥平面BCE.
(第16题)
17. (本小题满分14分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1是一个棱长为2的空心蔬菜大棚， 由8个钢结构(地面没有)组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖．已知E为柱AA1上一点(不在点A，A1处)，EA＝t.菜农需要在地面正方形ABCD内画出一条曲线l将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点P为地面正方形ABCD内的曲线l上任意一点，设α，β分别为在P点观测E和D1的仰角．
(1) 若α＝β，请说明曲线l是何种曲线，为什么？
(2) 若E为柱AA1的中点，且αb>0)的长轴端点分别为A1，A2，椭圆C的离心率为e＝，两条准线之间的距离为9.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设P是曲线C上的一点，∠PA1A2＝α∈，过A2作A2R⊥A1P于点R，设A2R与曲线C交于点Q，连接PQ，求直线PQ的斜率的取值范围．
19. (本小题满分16分)设f(x)＝aex－a，g(x)＝ax－x2(a为与自变量x无关的正实数).
(1) 证明：函数f(x)与g(x)的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；
(2) 是否存在实数k，使得－ln x－1>对任意的x∈恒成立？若存在，求出k的取值范围，否则请说明理由．
20. (本小题满分16分)若对任意的n∈N*，存在一个常数M，使得an≤M成立，则称M为an的一个上界；若对任意的n∈N*，an＋1≤成立，则称数列{an}为“凹数列”．
(1) ①求证：任意一个正项等比数列{bn}为“凹数列”；
②构造一个正项“凹数列”{cn}，但数列{cn}不是等比数列，并给出证明；
(2) 设无穷正项数列{an}的前n项和为Sn，若1为Sn的一个上界(n∈N*)，且数列{an}为“凹数列”，
求证：0≤an－an＋1≤(n∈N*).
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2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)
数学Ⅱ(附加题)注意事项：
1. 附加题供选修物理的考生使用．
2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．
3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．
21. 【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4－2：矩阵与变换(本小题满分10分)
已知T变换将曲线C1：＋y2＝1变换为单位圆x2＋y2＝1，S变换将曲线C2：－＝1变换为双曲线x2－y2＝1，求ST对应的矩阵．
B. 选修4－4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在极坐标系中，已知直线ρ＝与圆O：ρ＝8sin θ相交于A，B两点，求△OAB的面积．
C. 选修4－5：不等式选讲(本小题满分10分)
已知实数x，y，z 为正实数，求证：>.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)设P，Q为抛物线C：y2＝4x上的两点，点P，Q的纵坐标之和为4.
(1) 求直线PQ的倾斜角；
(2) 已知M是抛物线C上的动点，过M作垂直于x轴的直线，与直线y＝x交于点A，点B满足＝2，连接OB(其中O为原点)交抛物线C于点N，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
23. (本小题满分10分)设a，b∈R，a≠0，a＋b≥0，数列{cr}的通项公式为cr＝(an－rbr)(1≤r≤n＋1)，n∈N*.令{cr}的各项之和为Sn＋1，fn(a，b)＝.
(1) 计算：f1(a，b)，f2(a，b)，f3(a，b)，验证不等式fn(a，b)≥n对n＝1，2，3成立；
(2) 证明不等式：fn(a，b)≥n，并给出等号成立的充要条件．
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)(二)
数学Ⅰ参考答案及评分标准
1. 2
2. {y|y>1}
3. 0.8
4.
5. 55
6. 36
7.
8.
9.
10.
11. [－4，5]
12.·
13.
14. [90°，180°)
15. 【解答】 (1) 因为向量a＝(sin x，cos x)，b＝(1，－)，a，b所成的角为，
所以a·b＝sin x－cos x＝··cos ，(2分)
所以2sin ＝1，所以sin ＝.(4分)
因为x∈[－π，π]，所以x－∈，
所以x－＝－或x－＝，(6分)
所以x＝－或x＝.(7分)
(2) f(x)＝(a＋c)·(a－2c)＝a2－a·c－2c2＝(sin x)2＋(cos x)2－(sin x－cos x)－2[()2＋(－1)2]＝－7－(sin x－cos x)＝－7－2sin ，(9分)
因为x∈[－π，π]，所以x－∈，(11分)
所以－1≤sin ≤1，(13分)
所以f(x)的值域为[－9，－5].(14分)
16. 【解答】(1) 如图，连接AC，设AC∩BD＝G，连接FG.
由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点．
又因为F是CE的中点，所以在△ACE中，FG∥AE.
因为AE平面BDF，FG平面BDF，所以AE∥平面BDF.(7分)
(第16题)
(2) 因为∠AEB＝90°，所以AE⊥BE.
又因为直线BC⊥平面ABE，AE平面ABE，所以AE⊥BC.
又BC∩BE＝B，BC，BE平面BCE，
所以直线AE⊥平面BCE.
由(1) 知，FG∥AE，所以直线FG⊥平面BCE.
因为直线FG平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE.(14分)
17. 【解答】 (1) 如图(1)，连接PA，PD，则∠EPA＝α，∠D1PD＝β.
(第17题(1))
因为α＝β，所以tan α＝tan β，(2分)
所以＝，所以＝，所以PD＝·PA，(3分)
令＝λ>1，则PD＝λPA.(4分)
如图(2)，建立平面直角坐标系，
(第17题(2))
则A(0，0)，D(0，2)，设P(x，y)，则＝λ，(5分)
化简得x2＋＝，
所以P点的轨迹，即曲线l是在正方形ABCD内的一段圆弧．(7分)
(2) 由(1)知当E为柱AA1的中点时，t＝1，所以λ＝2，
(1)中圆的方程为x2＋＝，(8分)
因为αh＝＋.(14分)
因为k对任意的x∈恒成立．(16分)
20. 【解答】 (1) ①设正项等比数列{bn}的公比为q，则bn＋1－＝bnq－＝－bn·≤0，
所以正项等比数列{bn}为“凹数列”．(2分)
②设cn＝dn＋en，其中{dn}，{en}分别为两个正项等比数列，公比分别为q1，q2，且q1≠q2，
显然cn>0(n∈N*)，
cn＋1－＝(dn＋1＋en＋1)－＝＋(en＋1－)＝＋＝－[dn·＋en·]≤0，
所以正项数列{cn}为“凹数列”．(4分)
下面证明：正项数列{cn}不是等比数列．
若{cn}是等比数列，则(dn＋1＋en＋1)2＝(dn＋en)·(dn＋2＋en＋2)(n∈N*)，
所以d＋e＋2dn＋1en＋1＝dndn＋2＋enen＋2＋dnen＋2＋dn＋2en(n∈N*)，
因为数列{dn}，{en}分别为两个正项等比数列，
所以d＝dndn＋2，e＝enen＋2，
所以2dn＋1en＋1＝dnen＋2＋dn＋2en，
所以2dnenq1q2＝dnenq＋dnenq，
因为dnen≠0，所以2q1q2＝q＋q，
所以(q2－q1)2＝0，所以q2＝q1，与q1≠q2矛盾，
所以数列{cn}不是等比数列．(6分)
(2) 若存在一个常数k∈N*，使得a1≥a2≥a3≥…≥ak，但ak
