2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 1 （解析版）

学考仿真卷(一)(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页) 一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，如果A∩B＝A，那么实数m等于(　　)A．－1  B．0  C．2  D．4C　[∵A∩B＝A，∴A⊆B.∵A＝{1,2}，B＝{1，m,3}，∴m＝2.]2．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(　　)A．y＝  B．y＝  C．y＝x－2  D．y＝ln xD　[函数y＝的定义域是(0，＋∞)，A中的定义域是{x|x≠0}，B中的定义域是{x|x≥0}，C中的定义域是{x|x≠0}，D中的定义域是(0，＋∞)，故选D.]3．复数z＝＋2＋i的虚部是(　　)A．3  B．2  C．2i  D．3iB　[依题意z＝＋2＋i＝1＋i＋2＋i＝3＋2i，故虚部为2，所以选B.]4．“sin A＝”是“A＝30°”的(　　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件B　[因为sin 30°＝，所以“sin A＝”是“A＝30°”的必要条件．又150°，390°等角的正弦值也是，故“sin A＝”不是“A＝30°”的充分条件．故“sin A＝”是“A＝30°”的必要不充分条件．]5．已知直线的点斜式方程是y－2＝－(x－1)，那么此直线的倾斜角为(　　)A.  B.  C.  D.C　[因为k＝tan α＝－，α∈[0，π)，所以α＝.]6．若点A(2,2)在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A.  B.  C．2  D. C　[将A坐标代入抛物线方程得(2)2＝2p·2，p＝2，故焦点坐标F(1,0)，直线AF的斜率为＝2，故选C.]7．已知a＝(－2,2)，b＝(x，－3)，若a⊥b，则x的值为(　　)A．3  B．1  C．－1  D．－3D　[a·b＝－2x－6＝0，解得x＝－3.]8．在同一直角坐标系xOy中，函数y＝cos  x与y＝－cos  x的图象之间的关系是(　　)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于直线y＝－x对称A　[由于当自变量相同时，它们的函数值相反，故它们的图象关于x轴对称，故选A.]9．三个数a＝0.62，b＝log20.6，c＝20.6之间的大小关系是(　　)A．a＜c＜b   B．a＜b＜cC．b＜a＜c   D．b＜c＜aC　[易知0<a<1，b<0，c>1，故c>a>b.]10．在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a3，a7成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于(　　)A．n  B．n＋1  C．2n－1  D．2n＋1B　[S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝35，故a4＝5，又a＝a1a7，即(5－d)2＝(5－3d)(5＋3d)，即d＝1，故an＝a4＋(n－4)d＝n＋1.]11．已知实数x，y满足约束条件则z＝2x＋4y＋1的最小值是(　　)A．－14  B．1  C．－5  D．－9A　[作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分由z＝2x＋4y＋1可得y＝－x＋－，则－表示直线y＝－x＋－在y轴上的截距，截距越小，z越小，由题意可得，当y＝－x＋－经过点A时，z最小，由，可得A，此时z＝－2×－4×＋1＝－14，故选A.]12．圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－2)2＝2   B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2C．(x－1)2＋(y－2)2＝5   D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C　[r2＝(1－0)2＋(2－0)2＝5，故圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.]13．当x>4时，不等式x＋≥m恒成立，则m的取值范围是(　　)A．m≥8  B．m>8  C．m≤8  D．m<8C　[x＋＝x－4＋＋4≥2＋4＝8，故m≤8.]14．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　)A．－2  B．0  C．1  D．2A　[f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝－f(1)＝－2.]15．某学校举办校园演讲大赛，如图为七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，要求去掉一个最高分和一个最低分点，求出所剩数据的平均数和方差为(　　)A．84,4.84   B．84,1.6C．85,4   D．85,1.6D　[平均数＝＝85，方差为[(84－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为________．2　[由于双曲线的一条渐近线为y＝x，故＝.所以双曲线离心率e＝＝＝2.]17．函数f(x)＝－cos2－x的单调递增区间是________．kπ＋，kπ＋(k∈Z)　[f(x)＝－cos2－x＝－＝－sin 2x，即求sin 2x的单调递减区间．∵2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．]18．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．　[基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个，其中第一张大于第二张的有10个，所以P＝＝.]19．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为________．　[不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点的坐标为(c,0)，上顶点的坐标为(0，b)，则l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由＝×2b，得3c2＝b2.又b2＝a2－c2，所以a＝2c，故e＝.]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2asin Bcos A－bsin A＝0，(1)求A；(2)当sin B＋sin取得最大值时，试判断△ABC的形状．[解]　(1)由正弦定理＝得asin B＝bsin A≠0，又2asin Bcos A－bsin A＝0，∴2cos A＝1，即cos A＝，∵0<A<π，∴A＝.(2)∵A＝，∴B＝－C，∴sin＋sin＝cos C＋sin C＋＝2sin C，∵0<C<，∴当C＝时，取得最大值，∴△ABC是直角三角形．21．(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是PD的中点．求证：(1)PB∥平面EAC；(2)平面PDC⊥平面PAD.[证明]　(1)连接BD交AC于O，连接EO，则EO是△PBD的中位线，∴EO∥PB.又PB⊄平面EAC，EO⊂平面EAC，∴PB∥平面EAC.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD.而PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.