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2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 2 （解析版）
展开2020年广东学业水平测试数学学考仿真卷 2 （解析版）(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页) 一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，则M∩N＝( )A．{2,4} B．{2,4,8}C．{1,6} D．{1,2,4,6,8}B [由M＝{1,2,4,8}，N＝{2,4,6,8}，得M∩N＝{1,2,4,8}∩{2,4,6,8}＝{2,4,8}．故选B.]2．已知cos α＝，那么cos(－2α)等于( )A．－ B．－C. D.B [∵cos α＝，∴cos(－2α)＝cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.]3．lg 0.001＋ln ＝( )A. B．－ C．－ D.B [原式＝lg 10－3＋ln e＝－3＋＝－.]4．若a为实数且＝3＋i，则a＝( )A．－4 B．－3 C．3 D．4D [因为＝3＋i，所以2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，故a＝4，选D.]5．设x∈R，则“x>3”是“x2－2x－3>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [x2－2x－3>0⇔x>3或x<－1.由于{x|x>3}是{x|x>3或x<－1}的真子集，∴“x>3”是“x2－2x－3>0”的充分不必要条件．]6．已知点(m,1)(m>0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则m＝( )A. B．2－ C.－1 D.＋1C [由题意知＝1，∴|m＋1|＝，解得m＝－1或m＝－－1.又m>0，∴m＝－1.故选C.]7．如果正△ABC的边长为1，那么·等于( )A．－ B.C．1 D．2B [∵正△ABC的边长为1，∴·＝||·||cos A＝1×1×cos 60°＝.]8．对于不同直线a，b，l以及平面α，下列说法中正确的是( )A．如果a∥b，a∥α，则b∥αB．如果a⊥l，b⊥l，则a∥bC．如果a∥α，b⊥a则b⊥αD．如果a⊥α，b⊥α，则a∥bD [对于A选项，b可能属于α，故A选项错误．对于B选项，a，b两条直线可能相交或异面，故B选项错误．对于C选项，b可能平行于α或属于α，故C选项错误．对于D选项，根据线面垂直的性质定理可知，D选项正确，故选D.]9．如图，给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f(1)等于( )A．－4 B．－2C．2 D．4B [根据题意，由函数的图象可得f(－1)＝2，又由函数为奇函数，则f(1)＝－f(－1)＝－2.]10．已知函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B [∵连续函数f(x)＝log2x＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2＋log22＝1>0，∴f(x)＝x－2＋log2x的零点所在的区间为(1,2)，故选B.]11．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，则a3＝( )A．－2 B．2C．－8 D．－2或－8C [依题意解得q＝－2(q≠1)，故a3＝a1q2＝－2×(－2)2＝－8.]12．直线y＝ax＋1与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( )A．相切 B．相交C．相离 D．随a的变化而变化B [∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．]13．双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±2xA [由题意知－＝1，故渐近线方程为y＝±x.]14．某几何体示意图的三视图如图示，已知其正视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A．π B．2πC．4π D．16π C [由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为l，则2r＋2l＝8⇒r＋l＝4，又S侧＝πrl≤π2＝4π(当且仅当r＝l时“＝”成立)．]15．设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为( )A．80 B．4 C．25 D.A [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上)16．圆C的方程是x2＋y2＋2x＋4y＝0，则圆的半径是________． [依题意(x＋1)2＋(y＋2)2＝5，故圆的半径为.]17．函数y＝sinωx－(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.2 [由T＝＝π，得ω＝2.]18．一组数据为84,84,84,86,87，则这组数据的方差为________．1．6 [依题意，该组数据的平均数＝×(84＋84＋84＋86＋87)＝85，∴这组数据的方差是×[3×(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6.]19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．30 [设y为一年的总运费与总存储费用之和，则y＝·6＋4x＝＋4x≥2＝240.当且仅当＝4x，即x＝30时，y取最小值．]三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长．[解] (1)cos C＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.21．(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥BA1C1D的体积．[解] (1)证明：连接AB1交A1B于E，连接ED.∵ABCA1B1C1是三棱柱，且AB＝BB1，∴侧面ABB1A1是一正方形，∴E是AB1的中点．又已知D为AC的中点，∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED.又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)证明：连结AC1，∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1.又∵AC1∩AB1＝A，AC1，AB1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵ABCA1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1.又∵A1B∩BB1＝B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.(3)连结DC1，∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1，∴BD就是三棱锥BA1C1D的高．由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．又∵AB＝BC＝1，∴BD＝，∴AC＝A1C1＝，∴三棱锥BA1C1D的体积V＝·BD·S△A1C1D＝···A1C1·AA1＝.
