2021版高考数学一轮复习核心素养测评二十三正弦定理和余弦定理苏教版

核心素养测评二十三 正弦定理和余弦定理(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,a=2,b=2,B=45°,则A为 (　　)A.60°或120°　　　　　　　B.60°C.30°或150°     D.30°【解析】选A.在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin A===.又a>b,所以A>B,所以A=60°或A=120°.2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cos A=,则b等于(　　)A.　　　　  B.     C.2　　　　 D.3【解析】选D.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是 (　　)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选C.在△ABC中,因为cos C=,所以a=2bcos C=2b·,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,则△ABC解的情况是 (　　)A.无解     B.有唯一解C.有两解     D.不能确定【解析】选B.因为在△ABC中,∠A=60°,a=,b=,所以根据正弦定理得sin B===,因为∠A=60°,得∠B+∠C=120°,所以由sin B=,得∠B=30°,从而得到∠C=90°,因此,满足条件的△ABC有且只有一个.【变式备选】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,B=30°,若三角形有两个解,则x的取值范围是              (　　)A.(2,+∞)　     B.(2,2)C.(2,4)　     D.(2,2)【解析】选C.因为三角形有两个解,所以xsin B<b<x,得2<x<4,即x的取值范围是(2,4).5.(多选)在△ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是 (　　)A.若A<B,则sin A<sin BB.若sin A<sin B,则A<BC.若A>B,则>D.A<B,则cos 2A>cos 2B【解析】选ABD.对A选项. 若A<B,则a<b,2Rsin A<2Rsin B,所以sin A<sin B,所以该选项是正确的;对B选项. 若sin A<sin B,所以<,所以a<b,则A<B,所以该选项是正确的;对C选项. 若A>B,设A=,B=,所以<0,>0,所以该选项错误.对D选项. A<B,则sin A<sin B,sin 2A<sin 2B,所以-sin 2A>-sin 2B,所以1-sin 2A>1-sin 2B,所以cos 2A>cos 2B,故该选项正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C=c,则C=________;若c=,△ABC的面积为,则△ABC的周长为________. 【解析】在△ABC中,因为2cos C(acos B+bcos A)=c,由正弦定理可得2cos C=sin C,又由sin C=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B,整理得2cos Csin C=sin C,因为C∈(0,π),则sin C>0,所以cos C=,所以C=,又由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=7,又因为S△ABC=absin =,解得ab=6,所以(a+b)2-18=7,即a+b=5,所以△ABC的周长为5+.答案:　5+7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bcos A=sin B,且a=2,b+c=6,则△ABC的面积为________.               【解析】由题意可得:abcos A=asin B,所以asin Bcos A=sin Asin B,所以tan A=a=,所以A=.利用余弦定理有cos A===,结合a=2,b+c=6可得:bc=8,则S△ABC=bcsin A=×8×=2.答案:2【变式备选】在△ABC中,三个内角∠A,∠B, ∠C所对的边分别是a,b,c,若(b+2sin C)·cos A=-2sin Acos C,且a=2,则△ABC面积的最大值是________. 【解析】因为(b+2sin C)cos A=-2sin Acos C,所以bcos A=-2(sin Ccos A+sin Acos C)=-2 sin(A+C)=-2sin B,则=,结合正弦定理得==,即tan A=-,∠A=π,由余弦定理得cos A==-,化简得b2+c2=12-bc≥2bc,故bc≤4,S△ABC=bcsin A≤×4×= .答案:8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+bsin A=csin C,a=2,b=2,则sin B=________.               【解析】因为asin A+bsin B+bsin A=csin C,所以a2+b2+ab=c2.由余弦定理得cos C==-,又0<C<π,所以C=.c2=a2+b2-2abcos C=22+(2)2-2×2×2×=20,所以c=2.由正弦定理得=,即=,解得sin B=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·柳州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.(1)求角C.(2)若c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积.【解析】(1)因为(a2+b2-c2)(2sin A-sin B)=(a2+c2-b2)sin B.所以2abcos C(2sin A-sin B)=2accos Bsin B.所以2sin Acos C=sin(B+C)=sin A,又在△ABC中,sin A≠0,所以cos C=,又0<C<π,所以C=.(2)由||=得,a2+b2+ab=16,①由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=8,②由①②两式得ab=4,所以△ABC的面积S=absin C= ab=.10.(2020·清华附中模拟)在△ABC中,3sin A=2sin B,tan C=. (1)求cos 2C.(2)若AC-BC=1,求△ABC的周长.【解析】(1)因为tan C=,所以cos C=,所以cos 2C=2×-1=-.(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.由3sin A=2sin B及正弦定理得3a=2b,又因为AC-BC=b-a=1,所以a=2,b=3.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=13-2=11,所以c=,△ABC的周长为5+.(15分钟　35分)1.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=,A=,b=1,则△ABC的面积为 (　　)A. 　   B.    C. 　   D.【解析】选B.由正弦定理得===,又A=,b=1,则a=1,B=,所以△ABC是边长为1的正三角形,所以△ABC的面积为×12×=.2.(5分)(2020·揭阳模拟)已知△ABC中,AB=AC=3,sin ∠ABC=2sin A,延长AB到D使得BD=AB,连接CD,则CD的长为              (　　)A.     B. C.     D.3【解析】选C.因为sin ∠ABC=2sin A,所以AC=2BC,即BC=,因为BD=AB,所以+=+=0,CD2=,CD=.3.(5分)(2020·长沙模拟)在锐角△ABC中,D为BC的中点,满足∠BAD+∠C=90°,则∠B,∠C的大小关系是________. 【解析】由∠BAD+∠C=90°,得∠CAD+∠B=90°,由正弦定理得==,==,又D为BC的中点,所以BD=DC,所以=,化简得sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,又△ABC为锐角三角形,所以∠B=∠C.答案:∠B=∠C4.(10分)已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°.E是边BC上一点,线段DE交AC于点F.(1)若△CDE的面积为,求DE的长.(2)若CF=4DF,求sin∠DFC.【解析】(1)由已知,∠BCD=∠DAB=60°.因为△CDE的面积S=CD·CE·sin∠BCD=,所以×2CE·=,解得CE=1.在△CDE中,由余弦定理得DE===.(2)连接BD,由已知∠ACD=30°,∠BDC=60°,设∠CDE=θ,则0°<θ<60°.在△CDF中,由正弦定理得=,因为CF=4DF,所以sin θ==,所以cos θ=,所以sin ∠DFC=sin(30°+θ)=×+×=.【一题多解】由已知∠ACD=30°,∠BDC=60°,设∠CDE=θ,则0°<θ<60°,设CF=4x,因为CF=4DF,则DF=x,在△CDF中,由余弦定理,得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠ACD,即7x2=4+16x2-8x,解得x=,或x=.又因为CF≤AC=,所以x≤,所以x=,所以DF=.在△CDF中由正弦定理得=,所以sin∠DFC==.5.(10分)(2019·大连模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=sin Asin B.              (1)求角C.(2)若c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积S的值.【解析】(1)由已知sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,由正弦定理得a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得cos C==-.因为0<C<π,所以C=.(2)延长CD到M,使CD=DM,连接AM,易证△BCD≌△AMD,所以BC=AM=a,∠CBD=∠MAD,所以∠CAM=.由余弦定理得所以ab=4,S=absin∠ACB=×4×=.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式:设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则△ABC的面积S=.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为              (　　)A.    B.2   C.3   D.【解析】选A.由正弦定理及a2sin C=4sin A,得ac=4,再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则S===,故选A.2. (2019·南京模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=,△ABC的面积为,则cos 2A=________.               【解析】由三角形面积公式得S△ABC=acsin B=×a×5×sin =××5a=,解得a=3.由b2=a2+c2-2accos B=32+52-2×3×5×=49,得b=7.由=所以sin A=sin B=sin =,所以cos 2A=1-2sin2A=1-2×=.答案: