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吉林省2020年中考数学适应性训练试卷 解析版
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吉林省2020年中考数学适应性训练试卷
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3
2．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x3）2
4．不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5cm，△ADC的周长为12cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
6．随着中国国力的增强，老百姓的日常生活用品也日渐丰富起来，某小区门口的便民超市用1680元购进A、B两种类型的商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购买A型商品x件，B型商品y件，依题意列出方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．16的算术平方根是 ．
8．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小何共花费 元．（用含a，b的代数式表示）
9．已知ab＝10，a+b＝7，则a2b+ab2＝ ．
10．已知关于x方程3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）＝0至少有一实根大于1，则a的取值范围是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是 毫米．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 °．
14．在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 （用含a的式子表示）．
三．解答题（共12小题，满分84分）
15．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x），其中x＝2，y＝﹣1．
16．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，延长CD至点M，使DM＝BF．证明：△AMD≌△AFB．
17．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙同学从中随机抽取一张卡片，甲、乙两同学按各自抽取的内容进行诵读比赛．
请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学诵读两个不同材料的概率．
18．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的函数交于B（﹣4，b），A两点．
（1）求一次函数的表达式及A点的坐标．
（2）直接写出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
19．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①点A经过的路径的长为 （结果保留π）；
②写出点B′的坐标为 ．
21．如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD＝9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．
22．为了解饮料自动售货机的销售情况，有关部门对甲、乙两个城市的饮料自动售货机进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从两个城市所有的饮料自动售货机中分别随机抽取16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）如下：
甲：25，45，38，22，10，28，61，18，38，45，78，45，58，32，16，78
乙：48，52，21，25，33，12，42，39，41，42，33，44，33，18，68，72
整理、描述数据：对销售金额进行分组，各组的频数如下：
销售金额x
频数
城市
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x＜80
甲
3
6
4
3
乙
2
6
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
城市
平均数
中位数
众数
方差
甲
39.8
38
45
403
乙
38.9
40
33
252
得出结论：
a．乙城市目前共有饮料自动售货机2000台，估计日销售金额不低于40元的数量约为 台；
b．可以推断出 城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由为 ．
23．如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ km，b＝ h，AB两地的距离为 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
24．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是 ；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
26．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值
（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣1＜0＜2，
∴四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是﹣3．
故选：D．
2．解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选：A．
3．解：A、x10÷x2＝x8，不符合题意；
B、x6﹣x不能进一步计算，不符合题意；
C、x2•x3＝x5，符合题意；
D、（x3）2＝x6，不符合题意；
故选：C．
4．解：不等式1﹣x≥2，
解得：x≤﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
5．解：根据折叠可得：AD＝BD，
∵△ADC的周长为12cm，AC＝5cm，
∴AD+DC＝12﹣5＝7（cm），
∵AD＝BD，
∴BD+CD＝7cm．
故选：A．
6．解：由题意可得，
，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
8．解：依题意得：4a+10b；
故答案是：（4a+10b）．
9．解：∵ab＝10，a+b＝7，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝10×7
＝70．
故答案为：70．
10．解：将方程左边因式分解得：（x﹣a）（3x+a+2）＝0，
∴方程的解为：x1＝a，x2＝﹣，
∵方程3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）＝0至少有一实根大于1，
∴a＞1或﹣＞1，
解得：a＞1或a＜﹣5，
故答案为：a＞1或a＜﹣5．
11．解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
12．解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴CD：CA＝DE：AB
∴20：60＝DE：10
∴DE＝毫米
∴小管口径DE的长是毫米．
故答案为：
13．解：连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∴∠DAB＝30°，∠CAO＝60°，
∴∠CAD＝30°，
故答案为：30．
14．解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE＝BE，
则BE＝EF＝a，
∴BF＝2a，
∵∠B＝30°，
∴DF＝BF＝a，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝BF+DF＝2a+a＝3a；
故答案为：3a．
三．解答题（共12小题，满分84分）
15．解：原式＝（4x2﹣y2﹣6x2+3xy+y2）÷（﹣x）
＝（﹣2x2+3xy）÷（﹣x）
＝4x﹣6y，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝8+6＝14．
16．解∵四边形 ABCD 为在正方形，
∴AB＝AD，∠ABF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADM＝∠ABF＝90°，
在△AMD 和△AFB 中，
∴△AMD≌△AFB（SAS）．
17．解：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两同学诵读两个不相同材料的结果数为6，
所以甲、乙两同学诵读两个不相同材料的概率＝＝．
18．解：（1）把B（﹣4，b）代入y＝﹣得b＝1，
所以B点坐标为（﹣4，1），
把B（﹣4，1）代入y＝kx+5得﹣4k+5＝1，解得k＝1，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）解得或，
∴A（﹣1，4），
∵两函数的交点A的坐标是（﹣1，4），B的坐标是（﹣4，1）
∴一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围是﹣4＜x＜﹣1．
19．解：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝45．
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）（10350+9600）×40%＝7980（元）．
答：售完这批电器商场共获利7980元．
20．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
21．解：在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴AF＝3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝45°，
∴BF＝CD＝9m，
∴AB＝AF+BF＝3+9．
答：旗杆的高度为（3+9）m．
22．解：整理、描述数据，补全下表：
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x＜80
甲
3
6
4
3
乙
2
6
6
2
得出结论：
a．估计日销售金额不低于40元的数量约为2000×＝1000台；
b．可以推断出甲城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好；
②甲城市饮料自动售货机销售金额的众数较高，表示甲城市的销售金额较高；
可以推断出乙城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①乙城市饮料自动售货机销售金额的中位数较高，表示乙城市销售金额高的自动售货机数量较多；
②乙城市饮料自动售货机销售金额的方差较小，表示乙城市的销售情况较稳定．
故答案为：a．1000；
b．甲、甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好（答案不唯一，合理即可）
23．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，
a＝60×（7﹣5）＝120，
b＝7﹣5＝2，
AB两地的距离是：300+120＝420，
故答案为：120，2，420；
（2）设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，
∴，
解得，
即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；
（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，
∴，解得，
即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，
设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，
∴，解得，
即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，
设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，
当0≤x≤2时，
s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，
则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，
当2＜x≤5时，
s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，
当5≤x≤7时，
s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，
则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，
由上可得，
行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．
24．解：（1）①如图②中，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．
由①知，△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．
如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，＝，
∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．
∵△AHG∽△ATE，
∴＝＝＝2，
∴GH＝2x，AH＝2y，
∴4x2+4y2＝4，
∴x2+y2＝1，
∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．
∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4（可以证明△GAH≌△HDC得到）
∵BC∥AH，
∴＝＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，
∴x+x＝4，
∴x＝4（﹣1），
∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．
26．解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；
作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K
∵y＝＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴A（﹣3，0），B（1，0）
∵x＝0时，y＝＝﹣
∴C（0，﹣），OC＝
∴OD＝OC＝，D（0，）
设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）
设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G
∴ 解得：
∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）
∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+
∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•xB+DG•|xP|＝DG•（xB﹣xP）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）
∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大
∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3
∴tan∠ABP＝＝
∴∠ABP＝30°
∵△BPQ为等边三角形
∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ
∴BA平分∠PBQ
∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点
∴Q（﹣2，）
∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝
∴∠QAI＝∠PAI＝60°
∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°
∵MH⊥AP于点H
∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝
∴MH＝AM
∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2
∴四边形MNDD'是平行四边形
∴D'M＝DN
∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH
∵D'K⊥AP于点K
∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短
∵DD'∥MN，D（0，）
∴∠D'DJ＝30°
∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝
∴D'（1，）
∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°
∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°
∴PB∥D'K
设直线D'K解析式为y＝x+d，
把点D'代入得：+d＝
解得：d＝
∴直线D'K：y＝x+
把直线AP与直线D'K解析式联立得：
解得：
∴K（﹣，）
∴D'K＝
∴DN+MN+AM的最小值为
（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2
∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E
∴E（0，）
∴tan∠EAB＝
∴∠EAB＝30°
∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E
∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，
∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），
∴BE∥PA，BE＝PA，
∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），
∴×9﹣3m+＝0
解得：m＝
∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+
∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1
∴F（﹣1，0）
∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′
∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝
∴△ABB'、△AEE'是等边三角形
∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上
∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）
∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝
∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°
①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°
过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E''
∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝
∵△B′E′R翻折得△B'E''R
∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2
∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣
∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3
∵四边形RTB'S是矩形
∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3
∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°
∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣
∴xS＝xB'﹣B'W＝，yS＝yB'+SW＝3+
∴S（，3+）
②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°
过点S作SX⊥B'F于点X
∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T
∴B'S＝RT＝E'R＝1
∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°
∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝
∴xS＝xB'+XS＝﹣，yS＝yB'﹣B'X＝
∴S（﹣，）
③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°
∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°
∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°
∴四边形B'E'RE''是平行四边形
∵E'R＝E''R
∴▱B'E'RE''是菱形
∴B'E'＝E'R
∴△B'E'R是等边三角形
∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'
∴点S为B'E'中点
∴S（﹣2，2）
综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ）
A．﹣1 B．2 C．0 D．﹣3
2．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算结果是x5的为（ ）
A．x10÷x2 B．x6﹣x C．x2•x3 D．（x3）2
4．不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5cm，△ADC的周长为12cm，则BC的长为（ ）
A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm
6．随着中国国力的增强，老百姓的日常生活用品也日渐丰富起来，某小区门口的便民超市用1680元购进A、B两种类型的商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购买A型商品x件，B型商品y件，依题意列出方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．16的算术平方根是 ．
8．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小何共花费 元．（用含a，b的代数式表示）
9．已知ab＝10，a+b＝7，则a2b+ab2＝ ．
10．已知关于x方程3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）＝0至少有一实根大于1，则a的取值范围是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 ．
12．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是 毫米．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 °．
14．在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 （用含a的式子表示）．
三．解答题（共12小题，满分84分）
15．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x），其中x＝2，y＝﹣1．
16．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，延长CD至点M，使DM＝BF．证明：△AMD≌△AFB．
17．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙同学从中随机抽取一张卡片，甲、乙两同学按各自抽取的内容进行诵读比赛．
请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学诵读两个不同材料的概率．
18．如图，一次函数y＝kx+5（k为常数，且k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的函数交于B（﹣4，b），A两点．
（1）求一次函数的表达式及A点的坐标．
（2）直接写出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
19．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
（2）在（1）中的条件下，
①点A经过的路径的长为 （结果保留π）；
②写出点B′的坐标为 ．
21．如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD＝9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．
22．为了解饮料自动售货机的销售情况，有关部门对甲、乙两个城市的饮料自动售货机进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据：从两个城市所有的饮料自动售货机中分别随机抽取16台，记录下某一天各自的销售情况（单位：元）如下：
甲：25，45，38，22，10，28，61，18，38，45，78，45，58，32，16，78
乙：48，52，21，25，33，12，42，39，41，42，33，44，33，18，68，72
整理、描述数据：对销售金额进行分组，各组的频数如下：
销售金额x
频数
城市
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x＜80
甲
3
6
4
3
乙
2
6
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
城市
平均数
中位数
众数
方差
甲
39.8
38
45
403
乙
38.9
40
33
252
得出结论：
a．乙城市目前共有饮料自动售货机2000台，估计日销售金额不低于40元的数量约为 台；
b．可以推断出 城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由为 ．
23．如图①所示，在A、B两地间有一车站C，甲汽车从A地出发经C站匀速驶往B地，乙汽车从B地出发经C站匀速驶往A地，两车速度相同．图②是两辆汽车行驶时离C站的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）填空：a＝ km，b＝ h，AB两地的距离为 km；
（2）求线段MN所表示的y与x之间的函数关系式（自变量取值范围不用写）；
（3）当甲、乙两车距离车站C的路程之和最小时，直接写出行驶时间x的取值范围．
24．如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是 ；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；
（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
26．如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值
（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）
1．解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣1＜0＜2，
∴四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是﹣3．
故选：D．
2．解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
故选：A．
3．解：A、x10÷x2＝x8，不符合题意；
B、x6﹣x不能进一步计算，不符合题意；
C、x2•x3＝x5，符合题意；
D、（x3）2＝x6，不符合题意；
故选：C．
4．解：不等式1﹣x≥2，
解得：x≤﹣1，
表示在数轴上，如图所示：
故选：A．
5．解：根据折叠可得：AD＝BD，
∵△ADC的周长为12cm，AC＝5cm，
∴AD+DC＝12﹣5＝7（cm），
∵AD＝BD，
∴BD+CD＝7cm．
故选：A．
6．解：由题意可得，
，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
7．解：∵42＝16，
∴＝4．
故答案为：4．
8．解：依题意得：4a+10b；
故答案是：（4a+10b）．
9．解：∵ab＝10，a+b＝7，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝10×7
＝70．
故答案为：70．
10．解：将方程左边因式分解得：（x﹣a）（3x+a+2）＝0，
∴方程的解为：x1＝a，x2＝﹣，
∵方程3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）＝0至少有一实根大于1，
∴a＞1或﹣＞1，
解得：a＞1或a＜﹣5，
故答案为：a＞1或a＜﹣5．
11．解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5﹣4＝1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0），
12．解：∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴CD：CA＝DE：AB
∴20：60＝DE：10
∴DE＝毫米
∴小管口径DE的长是毫米．
故答案为：
13．解：连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∴∠DAB＝30°，∠CAO＝60°，
∴∠CAD＝30°，
故答案为：30．
14．解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE＝BE，
则BE＝EF＝a，
∴BF＝2a，
∵∠B＝30°，
∴DF＝BF＝a，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝BF+DF＝2a+a＝3a；
故答案为：3a．
三．解答题（共12小题，满分84分）
15．解：原式＝（4x2﹣y2﹣6x2+3xy+y2）÷（﹣x）
＝（﹣2x2+3xy）÷（﹣x）
＝4x﹣6y，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝8+6＝14．
16．解∵四边形 ABCD 为在正方形，
∴AB＝AD，∠ABF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADM＝∠ABF＝90°，
在△AMD 和△AFB 中，
∴△AMD≌△AFB（SAS）．
17．解：
画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两同学诵读两个不相同材料的结果数为6，
所以甲、乙两同学诵读两个不相同材料的概率＝＝．
18．解：（1）把B（﹣4，b）代入y＝﹣得b＝1，
所以B点坐标为（﹣4，1），
把B（﹣4，1）代入y＝kx+5得﹣4k+5＝1，解得k＝1，
所以一次函数解析式为y＝x+5；
（2）解得或，
∴A（﹣1，4），
∵两函数的交点A的坐标是（﹣1，4），B的坐标是（﹣4，1）
∴一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围是﹣4＜x＜﹣1．
19．解：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝45．
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）（10350+9600）×40%＝7980（元）．
答：售完这批电器商场共获利7980元．
20．解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝，
故答案为：；
②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），
故答案为：（﹣1，3）．
21．解：在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF＝，
∴tan30°＝，
∴＝，
∴AF＝3m，
在Rt△BCD中，
∵∠BCD＝45°，
∴BF＝CD＝9m，
∴AB＝AF+BF＝3+9．
答：旗杆的高度为（3+9）m．
22．解：整理、描述数据，补全下表：
0≤x＜20
20≤x＜40
40≤x＜60
60≤x＜80
甲
3
6
4
3
乙
2
6
6
2
得出结论：
a．估计日销售金额不低于40元的数量约为2000×＝1000台；
b．可以推断出甲城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好；
②甲城市饮料自动售货机销售金额的众数较高，表示甲城市的销售金额较高；
可以推断出乙城市的饮料自动售货机销售情况较好，理由如下：
①乙城市饮料自动售货机销售金额的中位数较高，表示乙城市销售金额高的自动售货机数量较多；
②乙城市饮料自动售货机销售金额的方差较小，表示乙城市的销售情况较稳定．
故答案为：a．1000；
b．甲、甲城市饮料自动售货机销售金额的平均数较高，表示甲城市的销售情况较好（答案不唯一，合理即可）
23．解：（1）两车的速度为：300÷5＝60km/h，
a＝60×（7﹣5）＝120，
b＝7﹣5＝2，
AB两地的距离是：300+120＝420，
故答案为：120，2，420；
（2）设线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝mx+n，
∴，
解得，
即线段MN所表示的y与x之间的函数表达式是y＝60x﹣300；
（3）设DE对应的函数解析式为y＝cx+d，
∴，解得，
即DE对应的函数解析式为y＝﹣60x+120，
设EF对应的函数解析式为y＝ex+f，
∴，解得，
即EF对应的函数解析式为y＝60x﹣120，
设甲、乙两车距离车站C的路程之和为skm，
当0≤x≤2时，
s＝（﹣60x+300）+（﹣60x+120）＝﹣120x+420，
则当x＝2时，s取得最小值，此时s＝180，
当2＜x≤5时，
s＝（﹣60x+300）+（60x﹣120）＝180，
当5≤x≤7时，
s＝（60x﹣300）+（60x﹣120）＝120x﹣420，
则当x＝5时，s取得最小值，此时s＝180，
由上可得，
行驶时间x满足2≤x≤5时，甲、乙两车距离车站C的路程之和最小．
24．解：（1）①如图②中，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．
由①知，△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．
如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，＝，
∴DG＝2BE，
∵∠ATB+∠ABE＝90°，
∴∠ATB+∠ADG＝90°，
∵∠ATB＝∠DTH，
∴∠DTH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．
∵△AHG∽△ATE，
∴＝＝＝2，
∴GH＝2x，AH＝2y，
∴4x2+4y2＝4，
∴x2+y2＝1，
∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．
25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝＝4，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
＝，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．
∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴＝＝，
∴AE＝AB＝．
如图2中，当CH＝HG时，
易证AH＝BC＝4（可以证明△GAH≌△HDC得到）
∵BC∥AH，
∴＝＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5°．
在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝x，则CM＝EM＝x，
∴x+x＝4，
∴x＝4（﹣1），
∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，
综上所述，满足条件的m的值为或2或8﹣4．
26．解：（1）如图1，过点D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，连接D'M；过点D'作D'J⊥y轴于点J；
作直线AP，过点M作MH⊥AP于点H，过点D'作D'K⊥AP于点K
∵y＝＝0
解得：x1＝﹣3，x2＝1
∴A（﹣3，0），B（1，0）
∵x＝0时，y＝＝﹣
∴C（0，﹣），OC＝
∴OD＝OC＝，D（0，）
设P（t，t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）
设直线PB解析式为y＝kx+b，与y轴交于点G
∴ 解得：
∴直线PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）
∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+
∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DG•xB+DG•|xP|＝DG•（xB﹣xP）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）
∴t＝﹣＝﹣2时，S△BPD最大
∴P（﹣2，﹣），直线PB解析式为y＝x﹣，直线AP解析式为y＝﹣x﹣3
∴tan∠ABP＝＝
∴∠ABP＝30°
∵△BPQ为等边三角形
∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ
∴BA平分∠PBQ
∴PQ⊥x轴，PQ与x轴交点I为PQ中点
∴Q（﹣2，）
∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝
∴∠QAI＝∠PAI＝60°
∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°
∵MH⊥AP于点H
∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝
∴MH＝AM
∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2
∴四边形MNDD'是平行四边形
∴D'M＝DN
∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH
∵D'K⊥AP于点K
∴当点D'、M、H在同一直线上时，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短
∵DD'∥MN，D（0，）
∴∠D'DJ＝30°
∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝
∴D'（1，）
∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°
∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°
∴PB∥D'K
设直线D'K解析式为y＝x+d，
把点D'代入得：+d＝
解得：d＝
∴直线D'K：y＝x+
把直线AP与直线D'K解析式联立得：
解得：
∴K（﹣，）
∴D'K＝
∴DN+MN+AM的最小值为
（2）连接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如图2
∵点C（0，﹣）关于x轴的对称点为E
∴E（0，）
∴tan∠EAB＝
∴∠EAB＝30°
∵抛物线C'由抛物线C平移得到，且经过点E
∴设抛物线C'解析式为：y＝x2+mx+，
∵A（﹣3，0），P（﹣2，﹣），E（0，），B（1，0），
∴BE∥PA，BE＝PA，
∴抛物线C'经过点A（﹣3，0），
∴×9﹣3m+＝0
解得：m＝
∴抛物线C'解析式为：y＝x2+x+
∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1
∴F（﹣1，0）
∵将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′
∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝
∴△ABB'、△AEE'是等边三角形
∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，点B'在AB的垂直平分线上
∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）
∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝
∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°
①如图3，点T在E'F上，∠B'TR＝90°
过点S作SW⊥B'E'于点W，设翻折后点E'的对应点为E''
∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝
∵△B′E′R翻折得△B'E''R
∴∠B'E''R＝∠B'E'R＝60°，B'E''＝B'E'＝2
∴E''T＝B'E''﹣B'T＝2﹣
∴Rt△RTE''中，RT＝E''T＝2﹣3
∵四边形RTB'S是矩形
∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3
∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°
∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣
∴xS＝xB'﹣B'W＝，yS＝yB'+SW＝3+
∴S（，3+）
②如图4，点T在E'F上，∠B'RT＝90°
过点S作SX⊥B'F于点X
∴E'R＝B'E'＝1，点E'翻折后落在E'F上即为点T
∴B'S＝RT＝E'R＝1
∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°
∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝
∴xS＝xB'+XS＝﹣，yS＝yB'﹣B'X＝
∴S（﹣，）
③如图5，点T在B'F上，∠B'TR＝90°
∴RE''∥E'B'，∠E''＝∠B'E'R＝60°
∴∠E'BE''＝∠E'RE''＝120°
∴四边形B'E'RE''是平行四边形
∵E'R＝E''R
∴▱B'E'RE''是菱形
∴B'E'＝E'R
∴△B'E'R是等边三角形
∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'
∴点S为B'E'中点
∴S（﹣2，2）
综上所述，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形的点S坐标为（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．
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