全国高中数学高考模拟试卷


全国高中数学高考模拟试卷
考试时间：120分钟 满分：150分

题号
一
二
三
总分
评分
 
 
 
 
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前xx分钟收取答题卡

阅卷人
   
一、单选题（共12题；共60分）
得分
   
1.已知偶函数在区间上是增函数，且满足， 下列判断中错误的是（     ）

A.
B.函数在上单调递减　
C.函数的图像关于直线 对称
D.函数的周期是
2.在数列中，=1，， 则的值为 （    ）

A.99
B.49
C.102
D.101
3.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（     ）


A.平行
B.相交且垂直
C.异面
D.相交成60°
4.在数列{}中，已知且当n ≥2时，， 则a3 + a5等于（    ）

A.
B.
C.
D.
5.已知数列A:a1,a2,...an()具有性质P：对任意， 与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质P；
②数列0，2，4，6具有性质P；
③若数列A具有性质P，则a1=0；
④若数列a1,a2,a3()具有性质P，则a1+a3=2a2
其中真命题有

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（  ）




3
4




A.6种
B.12种
C.18种
D.24种
7.在数列{an}中，已知a1=3，且数列{an+（﹣1）n}是公比为2的等比数列，对于任意的n∈N* ， 不等式a1+a2+…+an≥λan+1恒成立，则实数λ的取值范围是（   ）

A.
B.
C.
D.（﹣∞，1]
8.数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则 等于（   ）
A.
B.
C.
D.
9.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（   ）


A.i>9
B.i>12
C.i>11
D.i>10
10.2个男生和4个女生排成一排，其中男生既不相邻也不排两端的不同排法有(    )
A.  种
B.  种
C.  种
D.  种
11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f /(x)，且函数y＝(1－x)f /(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ）

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
12.已知椭圆， 左右焦点分别为， 过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（   ）

A.
B.
C.
D.

阅卷人
   
二、填空题（共4题；共20分）
得分
   
13.已知数列{an}满足a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n，其前n项和为Sn ， 则 =________．
14.（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是________．

15.当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2﹣（cx+1）lnx+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是________．
16.(2015湖北）a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当________ 时，的值最小.


阅卷人
   
三、解答题（共6题；共70分）
得分
   
17.如图,☉O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.

（1）求证:圆心O在AD上;
（2）求证:CD=CG;
（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的长.
18.已知奇函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=﹣．

（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，f2（x）﹣f（x）+1的最小值为﹣2，求实数λ的值．
19.设函数f（x）=ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数．

（1）求实数k的值；
（2）若f（1）=． f（x）是单调增函数．
20.综合题
（1）已知函数f（x）=2x+ （x＞0），证明函数f（x）在（0， ）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）记函数g（x）=a|x|+2ax（a＞1）
①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；
②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．
21.如图，四边形 是等腰梯形， ， ， ，在梯形 中， ，且 ， 平面 .

（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的长.
22.已知曲线 （t为参数）， （ 为参数）．
（1）化 的方程为普通方程；
（2）若 上的点对应的参数为 ，Q为 上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值．
答案部分
第 1 题:
【答案】 C
【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，抽象函数及其应用
【解析】【解答】对于A，令x=0代入题中等式，得f（1-0)+f（1+0)=0，∴f（1)=0，结合函数为偶函数得f（-1)=f（1)=0，再令x=2代入题中等式，，得f（1-2)+f（1+2)=0，得f（3)=-f（-1)=0，结合函数为偶函数得f（-3)=f（3)=0，最后令x=4，f（1-4)+f（1+4)=0，得f（5)=-f（-3)=0，故A项正确；对于B，因为偶函数y=f（x)图象关于y轴对称，在区间[-1，0]上是增函数，所以y=f（x)在区间[0，1]上是减函数，设F（x)=f（1+x)，得F（-x)=f（1-x)，因为f（1-x)+f（1+x)=0，得f（1+x)=-f（1-x)，所以F（x)=f（1+x)是奇函数，图象关于原点对称．由此可得y=f（x)图象关于点（1，0)对称．∵区间[1，2]和区间[0，1]是关于点（1，0)对称的区间，且在对称的区间上函数的单调性一致，∴函数f（x)在[1，2]上单调递减，故B项正确；对于C，由B项的证明可知，y=f（x)图象关于点（1，0)对称，若f（x)的图象同时关于直线 x=1对称，则f（x)=0恒成立，这样与“在区间[-1，0]上f（x)是增函数”矛盾，故C不正确；对于D，因为f（x)=f（1-（1-x))=-f（1+（1+x))=-f（x+2)，所以f（x+2)=-f（x+4)，可得f（x+4)=f（x)，函数f（x)的周期是T=4，D项正确，故选C
【分析】给出抽象函数，要我们在给出的几条性质中找出错误的一项，着重考查了抽象函数的性质和函数单调性、奇偶性等知识，属于中档题
第 2 题:
【答案】 D
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】因为=1，， 所以该数列为等差数列，公差为2，=101，故选D。
【分析】简单题，等差数列中，。
第 3 题:
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】将展开图折叠起来在正方体

中对应正方体中， 对应正方体中， 连接， 则三边构成正三角形，所成角为60°，故选D。
【分析】将展开图折叠起来还原成直观图，找到两线对应的正方体中的位置，本题要求学生要有一定的空间想象能力
第 4 题:
【答案】 B
【考点】数列递推式
【解析】【分析】当n≥2时，， 于是有， 所以当n≥2时，，
， ， 。选B.
第 5 题:
【答案】 B
【考点】数列的应用
【解析】【分析】根据数列A：a1 ， a2 ， …，an（0≤a1＜a2＜…＜an ， n≥3)具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n)，aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．
【解答】∵对任意i，j（1≤i≤j≤n)，aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的项，
①数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故①不正确；
②数列0，2，4，6，aj+ai与aj-ai（1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，故②正确；
③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，
∵0≤a1＜a2＜…＜an ， n≥3，
而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，
∴a1=0；故③正确；
④∵数列a1 ， a2 ， a3具有性质P，0≤a1＜a2＜a3
∴a1+a3与a3-a1至少有一个是该数列中的一项，且a1=0，
1°若a1+a3是该数列中的一项，则a1+a3=a3 ，
∴a1=0，易知a2+a3不是该数列的项
∴a3-a2=a2 ， ∴a1+a3=2a2
2°若a3-a1是该数列中的一项，则a3-a1=a1或a2或a3
①若a3-a1=a3同1°，
②若a3-a1=a2 ， 则a3=a2 ， 与a2＜a3矛盾，
③a3-a1=a1 ， 则a3=2a1
综上a1+a3=2a2 ，
故选B．
第 6 题:
【答案】 A
【考点】计数原理的应用
【解析】【解答】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A.
第 7 题:
【答案】 C
【考点】数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：∵在数列{an}中，已知a1=3，且数列 是公比为2的等比数列，
∴ =2n ，
∴ ，
∴a1+a2+…+an= ﹣ = ，
∵对于任意的n∈N* ， 不等式a1+a2+…+an≥λan+1恒成立，
∴对于任意的n∈N* ， 不等式 ≥λ[2n+1﹣（﹣1）n+1]恒成立，
∴对于任意的n∈N* ， 不等式λ≤ 恒成立，
当n=1时， 取最大值 ，
∴ ．
∴实数λ的取值范围是（﹣∞， ]．
故选：C．
【分析】由等比数列通项公式得 =2n ， 从而 ，再由等比数列前n项和公式得a1+a2+…+an= ，由此得到对于任意的n∈N* ， 不等式a1+a2+…+an≥λan+1恒成立，等价于对于任意的n∈N* ， 不等式λ≤ 恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
第 8 题:
【答案】 C
【考点】数列递推式，数列的求和
【解析】【解答】 对任意的 都成立， ，即
， ，把上面 个式子相加可得， ， ，从而有 ，   .
故答案为：C.
【分析】在数列满足的恒等式中,令m=1得到递推关系式,用累加法求出数列的通项公式,再用裂项相消法求和.
第 9 题:
【答案】 D
【考点】循环结构，程序框图
【解析】【分析】依题意，框图是直到型循环，要计算的是， 故判断框内应填入的条件是i>10，选D.
第 10 题:
【答案】 A
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】4名女生站成一排有 种排法，2个男生既不相邻也不排在两端，采用插空法，放在4名女生的3个空中（不含两端）有 种排法，根据分步计数原理，不同排法种数有 种， 故答案为：A.【分析】根据题意利用插空法以及特殊位置考虑首先计算出男生的排法再全排女生即可得出结果。
第 11 题:
【答案】 D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．
又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．
故答案为：D．
【分析】结合y的函数图像，判断f(x)导函数在大于0，小于0时对应的x的范围，由此绘制出f(x)的单调性，即可判断极大值和极小值，即可得出答案。
第 12 题:
【答案】 D
【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的方程， 可得， ∵， ， ∴的周长为， 若最小时，的值最大，又当轴时，最小，此时， 所以， 故选D．
第 13 题:
【答案】 1009
【考点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n， ∴a2﹣a1=2，可得a2=3．
a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=4n﹣2．
∴a2n+1+a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．
∴S2016=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a2013+a2015）+（a2+a4）+…+（a2014+a2016）
=1008+（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×1007+2）
=1008+8× +2×504
=1008×2018，
∴ = =1009．
故答案为：1009．
【分析】由a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n，可得：a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=4n﹣2．于是a2n+1+a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．利用“分组求和”即可得出．
第 14 题:
【答案】 8
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图像与性质，根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）= ，
第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，
又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，
∴在区间[1，2）上，f（x）= ，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
同理：
区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；
在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；
故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；
即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，
故答案为：8
【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）= ，其中集合D={x|x= ，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．
第 15 题:
【答案】 [ ，+∞）
【考点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当x∈（0，+∞）时，不等式c2x2﹣（cx+1）lnx+cx≥0恒成立， 即x∈（0，+∞）时，（xc﹣lnx）（xc+1）≥0恒成立，
即x∈（0，+∞）时， 或 ，
令f（x）= ，f′（x）= ，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f（x）max=f（e）= ，而y=﹣ ＜0，
故c≥ ，
故答案为：[ ，+∞）．
【分析】问题转化为x∈（0，+∞）时，（xc﹣lnx）（xc+1）≥0恒成立，故有 或 恒成立，令f（x）= ，求出f（x）的最大值，从而求出c的范围即可．
第 16 题:
【答案】 2________-2
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，分段函数的应用
【解析】 【解答】因为函数， 所以分以下几种情况对其进行讨论：①当时，函数在区间上单调递增，所以;②当时，此时， ,而,所以;③当时，在区间上递增，在上递减。当时，取得最大值;④当时，在区间上递增，当时，取得最大值,则在上递减，上递增，既当时，的值最小，故应填。
 【分析】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出​的表达式和分段函数在区间上的最值求法.
第 17 题:
【答案】 （1）证明：由题意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,
∴CD=CF=BE=BD.
∴D为BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴圆心O在AD上.

（2）证明：如图,连接DF.

∵O在AD上,
∴DH为直径,
∴∠DFH=90°.
∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,
∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,
∴CG=CF,∴CG=CD.

（3）解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,又∠FAD为公共角,则△AHF∽△AFD.
∴
∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF,
∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.
又∵CG=10,∴GD=20.
∴DF=3×20× =12,
∴FH= FD=9.
【考点】圆的切线的判定定理的证明，圆的切线的性质定理的证明
【解析】【分析】本题主要考查了圆的切线的性质及判定定理，解决问题的关键是根据圆的切线的性质及判定定理结合所给图形根据三角形相似性以及边角关系计算即可
第 18 题:
【答案】 解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x ．

又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x ， 所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以f（x）∈（， 1]．
令t=f（x），则 ＜t≤1，
g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，
①当≤， 即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，
②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，
解得λ=±2（舍去）．
③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，
综上所述，λ=4．
【考点】函数的值域，二次函数在闭区间上的最值，指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．
（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．
第 19 题:
【答案】 解：（1）∵函数f（x）=ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，

∴f（﹣x）+f（x）=a﹣x+kax+ax+ka﹣x=（k+1）（ax+a﹣x）=0对于任意实数都成立．
∴k=﹣1．
（2）由（1）可知：f（x）=ax﹣a﹣x ，
∵f（1）=a﹣a﹣1=， 又a＞0，解得a=2．
∴f（x）=2x﹣2﹣x ．
任取实数x1＜x2 ， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）
=（-）（1+），
∵x1＜x2 ， ∴＜， 又＞0，
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）是单调增函数
【考点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由于函数f（x）=ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，得f（﹣x）+f（x）=0对于任意实数都成立．即可得出k．
（2）由（1）可知：f（x）=ax﹣a﹣x ， 利用f（1）=a﹣a﹣1=． 又a＞0，解得a=2，可得f（x）=2x﹣2﹣x ． 任取实数x1＜x2 ， 只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可
第 20 题:
【答案】 （1）证明：设x1 ， x2是区间（0， ）上的任意两个实数，且x1＜x2 ，
则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（ ﹣ ）= ，
因为0＜x1＜x2＜ ，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，故2x1x2﹣1＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（0， ）上单调递减，
函数f（x）的单调递增区间为（ ，+∞）．

（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，
（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；
（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，
即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，
解得：4x=1或4x= ，
所以x=﹣ 或0（舍去）；
综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣ ；
②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3ax ， 其中a＞1，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，
所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；
（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2ax ， 其中a＞1，
令t=ax ， 则t∈[ ，1），g（x）=2t+ =f（t），
（ⅰ）若1＜a≤ ，则 ≥ ，
据（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ，1）上单调递增，
所以f（ ）≤f（t）＜f（1），且f（ ）=a+ ，f（1）=3，
此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+ ，3）；
（ⅱ）若a＞ ，则 ＜ ，
据（1）可知，f（t）=2t+ 在[ ， ）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，
所以f（t）min=f（ ）=2 ，又f（ ）=a+ ，f（1）=3，
当f（ ）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，a+ ]，
当f（ ）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2 ，3）；
综上所述，当1＜a≤ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+ ，+∞；
当a＞ 时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2 ，+∞）．
【考点】函数的值域，函数的单调性及单调区间
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）①将a=4带入g（x），通过讨论x的正负，去掉绝对值号，解方程即可；②通过讨论x的范围，求出g（x）的单调性，从而求出g（x）的值域即可．
第 21 题:
【答案】 （1）证明：由已知 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 .

（2）解：因为 平面 ，又由(1)知 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设 ，则 ， ， ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则故
令 ，所以 .
又平面 的一个法向量 ，所以 ，解得 .
所以 的长为 .
【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】对于（1），要证明线面垂直，根据判定定理，在平面内找到两条相交直线与所证直线垂直即可.
对于（2）涉及到二面角时，如果二面角的平面角不明显时，往往建立合适空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角来体现二面角，从而解决问题.
第 22 题:
【答案】 （1）解：由得 ，
所以 ， 
由得 ，所以

（2）解：当 时， ，故 ，
为直线 ， 到 的距离
= （其中， ）
从且仅当 时， 取得最小值 ．
【考点】椭圆的参数方程
【解析】分析：本题主要考查了参数方程化成普通方程，解决问题的关键是（1）利用同角三角函数的基本关系，分别消去参数 和 即可；（2）首先利用参数方程求出点P的坐标，把直线（为参数）化为直角坐标下的一般方程，再利用点到直线的距离公式把点M到直线的距离表示成参数的函数并求出其最小值.