2020年山东省济宁市金乡县中考数学二模试卷 解析版

2020年山东省济宁市金乡县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）港珠澳大桥是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，总长55公里．数据55公里用科学记数法表示为（　　）
A．5.5×104米 B．5.5×103米 C．0.55×104米 D．55×103米
3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
4．（3分）某村2017年的人均收入为1.2万元，2019年的人均收入为1.452万元，则人均收入的年平均增长率为（　　）
A．5% B．10% C．15% D．19%
5．（3分）如图，已知∠MON＝60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，AB＝4．则直线AB与ON之间的距离是（　　）

A． B．2 C． D．4
6．（3分）若关于x的分式方程﹣＝1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥﹣4 且 m≠﹣3
C．m≥2 且 m≠3 D．m≥2
7．（3分）为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是（　　）
A．10名学生是总体的一个样本
B．中位数是40
C．众数是90
D．方差是400
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝2∠A＝90°，分别以点A和点B为圆心，以AC的长为半径画弧交AB于D，E两点，若BC＝，则阴影部分的面积是（　　）

A． B．π﹣2 C．2 D．π﹣1
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（　　）

A．16 B．20 C．32 D．40
10．（3分）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH＝BC，③OD＝BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共计15分）
11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）把多项式a﹣4ab2分解因式为　 　．
13．（3分）若一个圆锥的底面半径为3cm，高为cm，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为　 　．
14．（3分）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是　 　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An．则△OA2A2018的面积是　 　．

三、解答题（共55分，解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）
16．（6分）图1、图2分别是8×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足以下要求：

（1）在图1中画一个△ABC，使得△ABC是面积为10的直角三角形，所画图形的各顶点必须在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画一个以线段AB为一边的钝角等腰三角形，并且面积等于10，所画等腰三角形的各顶点必须在小正方形的顶点上．
17．（6分）先化简，再求值：（），请从0、1、2、﹣1、﹣2五个数中选一个你喜欢的数代入求值．
18．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
19．（8分）2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情牵动着全国人民的心，因疫情发展迅速，全国口罩等防护用品成了年货，供应紧张．某药店用2000元购进某品牌的一批口罩后，供不应求，又用5000元购进这种口罩，第二批口罩的数量是第一批的2倍，但进货单价比第一批贵2元．
（1）第一批口罩进货单价多少元？
（2）若两次购进口罩按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少元？
（3）由于党的好政策，爱心工人加班加点地生产，口罩变得不再紧俏，药店第三批进货单价比第一批便宜1元，若按照（2）中销售单价出售，每天可以售出60个，药店为了促销，决定降低一定的价格，每降低一元，每天多售出20个，问单价定为多少时，每天利润最大？最大是多少？
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝6cm，DE＝5cm，求⊙O直径的长．

21．（8分）（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：
①∠AEB的度数为　 　；
②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

22．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；
（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．


2020年山东省济宁市金乡县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．【解答】解：55公里＝55000米＝5.5×104米．
故选：A．
3．【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
4．【解答】解：设人均收入的年平均增长率为x，
依题意，得：1.2（1+x）2＝1.452，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
故选：B．
5．【解答】解：过A作AC⊥OM，AD⊥ON，
∵OP平分∠MON，∠MON＝60°，
∴AC＝AD，∠MOP＝∠NOP＝30°，
∵BA∥ON，
∴∠BAO＝∠PON＝30°，
∵∠ABC为△AOB的外角，
∴∠ABC＝60°，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝4，
∴BC＝2，
根据勾股定理得：AC＝＝2，
∴AD＝AC＝2，
则直线AB与ON之间的距离为2，
故选：C．

6．【解答】解：去分母得m+3＝x﹣1，
整理得x＝m+4，
因为关于x的分式方程﹣＝1的解是非负数，
所以m+4≥0且m+4≠1，
解得m≥﹣4且m≠﹣3，
故选：B．
7．【解答】解：A、10名学生的捐款数是总体的一个样本，故本选项错误；
B、中位数是30，故本选项错误；
C、众数是30，故本选项错误；
D、平均数是：（20×2+30×4+50×3+90）÷10＝40（元），
则方差是：×[2×（20﹣40）2+4×（30﹣40）2+3×（50﹣40）2+（90﹣40）2]＝400，故本选项正确；
故选：D．
8．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝2∠A＝90°，
∴∠A＝45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣（S扇形CAE+S扇形CBD﹣S△ACB）
＝﹣（+﹣）
＝2﹣，
故选：C．
9．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），
∴B、D两点纵坐标相同，都为4，
∴可设B（x，4）．
∵矩形ABCD的对角线的交点为E，
∴E为BD中点，∠DAB＝90°．
∴E（x，4）．
∵∠DAB＝90°，
∴AD2+AB2＝BD2，
∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），
∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，
解得x＝10，
∴E（5，4）．
∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选：B．
10．【解答】解：∵EC＝CF，∠BCE＝∠DCF，BC＝DC，
∴△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF＝90°，
∴∠BHD＝∠BHF＝90°，
∵BH＝BH，∠HBD＝∠HBF，
∴△BHD≌△BHF，
∴DH＝HF，∵OD＝OB
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF；故①正确；
∴OH＝BF，∠DOH＝∠CBD＝45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG＝CG＝BC，GH＝CF，
∵CE＝CF，
∴GH＝CF＝CE
∵CE＜CG＝BC，
∴GH＜BC，故②错误．
∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠DCF，∠EBC＝22.5°，
∵CE＝CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠CDF＝22.5°，
∴∠BFH＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，
∴DH＝CH，
∴∠CDF＝∠DCH＝22.5°，
∴∠HCF＝90°﹣∠DCH＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CHF＝180°﹣∠HCF﹣∠BFH＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，故④正确；
∴∠ODH＝∠BDC+∠CDF＝67.5°，
∴∠OHD＝180°﹣∠ODH﹣∠DOH＝67.5°，
∴∠ODH＝∠OHD，
∴OD＝OH＝BF；故③正确．
故选：B．

二、填空题（每小题3分，共计15分）
11．【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥2且x≠3．
故答案是：x≥2且x≠3．
12．【解答】解：a﹣4ab2分解因式为
＝a（1﹣4b2）
＝a（1+2b）（1﹣2b）．
故答案为：a（1+2b）（1﹣2b）．
13．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的母线长＝＝9，
∴圆锥的侧面展开图扇形的半径为9，扇形弧长为6π，
∴＝6π，
解得，n＝120，
故答案为：120°．
14．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，①正确；
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，②错误；
∵把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移3个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标A（1，3）变为（1，0），抛物线与x轴相切，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，③正确；
∵对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴与x轴的另一个交点是（﹣2，0），④错误；
∵当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1，
∴⑤正确．
正确的有①③⑤．
故答案为：①③⑤．
15．【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…，
由题意知OA4n＝2n，
∵2018÷4＝504…2，
∴OA2017＝+1＝1009，
∴A2A2018＝1009﹣1＝1008，
则△OA2A2018的面积是×1×1008＝504m2，
故答案为：504m2．
三、解答题（共55分，解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）
16．【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．

17．【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝×
＝a﹣1，
当a＝﹣1时，原式＝﹣2．
18．【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°，
故答案为：60，90．

（2）了解的人数有：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），补图如下：


（3）画树状图得：

​∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为＝．
19．【解答】解：（1）设第一批口罩的进货单价为x元，则第二批口罩的进货单价为（x+2）元，
，
解得，x＝8
经检验，x＝8是原分式方程的解，
答：第一批口罩进货单价为8元；
（2）设销售单价为a元，
（a﹣8）×+（a﹣8﹣2）×≥2000，
解得，a≥12
即销售单价至少为12元；
（3）设利润为w元，单价为b元，
w＝（b﹣7）[60+（12﹣b）×20]＝﹣20（b﹣11）2+320，
∴当b＝11时，w取得最大值，此时w＝320，
答：定价为11元时，利润最大，最大是320元．
20．【解答】（1）证明：连结DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC+∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
（2）由（1）得，BC＝＝＝8，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴⊙O直径的长为．

21．【解答】解：（1）①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°．
∴∠BEC＝120°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
故答案为：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
故答案为：AD＝BE．

（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．
∴∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝135°．
∴∠BEC＝135°．
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．
∵CD＝CE，CM⊥DE，
∴DM＝ME．
∵∠DCE＝90°，
∴DM＝ME＝CM．
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．

（3）点A到BP的距离为或．
理由如下：
∵PD＝1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上．
∴点P是这两圆的交点．
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．
∴BD＝2．
∵DP＝1，
∴BP＝．
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，
∴∠APB＝∠ADB＝45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．
∴＝2AH+1．
∴AH＝．
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．
同理可得：BP＝2AH﹣PD．
∴＝2AH﹣1．
∴AH＝．
综上所述：点A到BP的距离为或．




22．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，

（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），
∵CE∥x轴，
∴点E的纵坐标为﹣5，
∵E在抛物线上，
∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，
∴x＝0（舍）或x＝4，
∴E（4，﹣5），
∴CE＝4，
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，
∴F（t，t﹣5），
∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，
∵CE∥x轴，HF∥y轴，
∴CE⊥HF，
∴S四边形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，
∴H（，﹣）；

（3）如图2，∵K为抛物线的顶点，
∴K（2，﹣9），
∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），
∵M（4，m）在抛物线上，
∴M（4，﹣5），
∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），
∴直线K'M'的解析式为y＝x﹣，
∴P（，0），Q（0，﹣）．