四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（文）

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注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知复数，则复数的共轭复数

A． B． C． D．

3．记等差数列的前项和为，若，则

A．64 B．48 C．36 D．24

4．函数的大致图像为

A．B．C．D．

5．设为双曲线上一点，分别为左、右焦点，若，则

A．1 B．11 C．3或11 D．1或15

6．已知，则

A． B． C． D．

7．已知向量满足，且在方向上的投影是，则实数

A． B．2 C． D．

8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．264 B．270 C．274 D．282

9.若实数满足，则的取值范围是

A．         B．       C.         D．

10.已知是定义在上的偶函数，且，如果当时，，则

A．3 B．-3 C．2 D．-2

11．设，则

A． B．

C． D．

12．函数的零点个数是

A．0 B．1 C．2 D．与a有关

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量，，若，则______.

14．函数在处的切线方程的纵截距为______.

15.在棱长为2的正方形中，是底面ABCD的中心，E、F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于______.             

16．数列满足，且对于任意的都有，则______.

三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)如图，已知的内角，，的对边分别是，，，且，点是的中点，，交于点，且，.

（I）求；

（II）求的面积.

18．(12分)目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

（I）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

（II）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

（III）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.

附表及公式：

19．(12分)如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.

（I）求证：；

（II）求直线与平面所成角的正弦值.

20．(12分)已知椭圆E：过点Q（），椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．

（I）求椭圆E的方程；

（II）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．

21．(12分)已知函数，若曲线在点处的切线方程为.

（I）求实数、的值；

（II）证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（I）求圆的普通方程；

（II）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

(I)当时，画出函数的图象；

(II)不等式恒成立，求m的取值范围．

文科数学参考答案

1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．C 11．B 12．A

13．  14．     15．   16．

17．解（1），由得，

由余弦定理得，

，:

（2）连接，如下图：是的中点，，，

，

在中，由正弦定理得，

，，，，

，，，

，，，

18．（1）平均数.

“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5所以500人中“长潜伏者”的人数为人

（2）由题意补充后的列联表如图：

所以的观测值为，

经查表，得，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.

（3）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，

从中抽取2人，共有，，，，，，，

，，，，，，，，，

，，，，，

共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.

所以所求概率.

19．（1）证明：四边形为正方形，，

平面平面，且平面平面，

平面，则.

（2）取上的点，使得，则且，

且，则四边形为平行四边形，

则且，由，，

可得，过作于，则平面，连接，

则为直线与平面所成角，

在中，求得，

直线与平面所成角的正弦值为 .

20．解：（1）设，为短轴两端点，，则.

由于 ，∴.①

又在上，∴.②解①②得，.所以椭圆的方程为.

（2）设直线：，代入得.③

设，，则，.④

.⑤

把④代入⑤得，解得.

由对称性不妨取，则③变为，解得，.

的面积.

21．（1），，

又由题意得，，所以，

所以可得，，构造函数，

则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增，

又，所以关于的方程的根为，

把代入，解得，所以，.

（2）证明：由（1）知，则，

因为在区间单调递增，，，

所以有唯一实根，记为，即，所以，

由得，整理得，

因为时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，

所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以，即.

22．圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为.

化圆的普通方程为极坐标方程得，

设,则由解得，，

设,则由解得，，

.

23．（1）当时，，画出图像如下图所示：

（2）因为，所以不等式成立，等价于成立，该不等式转化为或或，解得.