四川省遂宁市射洪中学2020届高三5月第一次模拟考试 数学（文）
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集，集合，集合，则
A． B． C． D．
2．已知命题，则p命题的否定为
A． B．
C． D．
3．（2018江西省景德镇联考）若复数在复平面内对应的点在直线上，则
A．2 B． C．1 D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A． B． C． D．
5．在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为
A．108 B．90 C．72 D．24
6．已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则
A． B． C． D．
7．若，则
A． B． C． D．
8．已知，，，则
A． B． C． D．
9．已知实数满足，则“成立”是“成立”的
A．充要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件
10．双曲线的两个焦点为，点P在双曲线上，的面积为，则等于
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数是奇函数，则函数的值域为
A． B． C． D．
12．若对，，且，都有，则m的最小值是 注：为自然对数的底数，即
A． B．e C．1 D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则__________．
14．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
15．已知函数的最小正周期为，若函数在上单调递减，则的最大值是__________．
16．如图，直三棱柱中，，，，为线段上的一动点，则当最小时，的面积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对 100 辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果.
（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42)内的概率.
18．（12分）在中，设内角，，所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（II）求的取值范围.
19．（12分）在三棱柱中，平面、平面、平面两两垂直.
（Ⅰ）求证：两两垂直；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积.
20．（12分）已知，．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.
（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（II）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）．
（Ⅰ）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（II）已知点，直线与曲线相交于两点，若，求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（Ⅰ）求证：；
（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
文科数学参考答案
1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．C 11．A 12．C
13． 14．3 15． 16．
17．解：（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：
前组频率总和为，第组频率为，且 ，则由图可知，中位数在区间.
（Ⅱ）由题意，设从中选取的车辆为，从中选取的车辆为，
则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为，
其中符合条件的有6种，，所以所求事件的概率为.
18．解：（1）由得到，
即，即，
又∵为三角形内角，∴，所以，从而.
（2）
，
∵，∴，
∴，所以.
所以的取值范围为.
19．（Ⅰ）证明：在内取一点，作，
因为平面平面，其交线为，所以平面，，
同理，所以平面，，
同理，故两两垂直.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥的高为，
，所以三棱锥的体积为.
20．解：Ⅰ的定义域是，，
当时，，在递增，当时，在上，，递减，
在上，，递增，综上，当时，在递增，
时，在递减，在递增；
Ⅱ恒成立，即恒成立，设，则，，的单调性和相同，
当时，在递增，，故在递增，，
当时，在递减，在递增，
当时，，在递增，
，故是增函数，故，
当时，在区间上，递减，故，
故递减，故，不合题意，综上，a的范围是．
21解：（1）由题意知，直线为线段的垂直平分线，即：
所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆，
，，，故点的轨迹的方程为 .
（2）由题意直线的斜率存在设为,于是直线的方程为，
设，联立，得．
因为，由根与系数的关系得， ∴，，
设的横坐标为，则， 所在直线方程为，
令，得，· 于是，
即，
整理得， ，∴．
22．解：（1）将（为参数）消去参数可得,∴直线的普通方程为.
由，得，
将代入上式，得，
即，
∴曲线的直角坐标方程为．
（2）将代入中，整理得，
设两点对应参数分别为，则 ，
∵，∴， 又，
∴，∴， ∴，即 ，
解得，符合题意．∴．
23．解：（1）因为，
所以.,即
（2）由已知，
①当m≥-时，等价于,即，
解得所以
②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<
综上，实数的取值范围是.
