四川省宜宾市叙州区第二中学校2020届高三三诊模拟考试数学（文）试题
展开2020年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知命题，则为
A． B．
C． D．
4．对于是任意非零实数，且，又，则有
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，且，则的值为
A． B．45 C． D．
6．若直线与平行，则与间的距离为
A． B． C． D．
7．函数，的零点个数有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．．设是不同的直线，是不同的平面,下列四个命题中，正确的是
A．若,则 B．若则
C．若则 D．若则
9．已知函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为 B．的图像关于点对称
C．的图像关于直线对称 D．在区间的值域为
10.在正方体中，分别是的中点，则
A． B． C. 平面 D．平面
11．已知定义在上的函数，若是奇函数， 是偶函数，当时，，则
A． B． C．0 D．
12．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F作斜率为的直线l与C及其准线分别相交于A，B，D三点，则的值为
A．2或 B．3或 C．1 D．4或
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，若，则 ．
14．若实数，满足不等式组，则的最大值为____________.
15．若，，则的值为__________．
16．四棱锥中，底面为矩形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为_________.
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.
（I）求角的值；
（II）若，且为锐角三角形，求的取值范围.
18．（12分）某生物兴趣小组对冬季昼夜温差与反季节新品种大豆发芽数之间的关系进行研究，他们分别记录了月日至月日每天的昼夜温差与实验室每天颗种子的发芽数，得到以下表格
日期 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 | 月日 |
温差() | |||||
发芽数(颗) |
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据，然后用剩下的组数据求线性回归方程，再用被选取的组数据进行检验.
(I) 求统计数据中发芽数的平均数与方差；
(II) 若选取的是月日与月日的两组数据，请根据月日至月日的数据，求出发芽数关于温差的线性回归方程，若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过，则认为得到的线性回归方程是可靠的，问得到的线性回归方程是否可靠？ 附：线性回归方程中斜率和截距最小二乘估法计算公式：
，
19．（12分）如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，，为的中点.
（I）证明：（II）求四面体的体积.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线相切．
（I）求与；
（II）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点．求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型．
21．（12分）已知函数．
（I）当时，判断函数的单调性；
（II）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角．
（I）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程；
（II）设与曲线相交于两点, 求的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知．
（I）求不等式的解集；
（II）设为正实数，且，求证：.
2020年春四川省叙州区第二中学高三三诊模拟考试
文科数学参考答案
1．A 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．D 10．D 11．A 12．D
13．30. 14．5 15． 16．
17．（1）由题意知，∴，
由余弦定理可知，，又∵，∴.
（2）由正弦定理可知，，即
∴
，
又∵为锐角三角形，∴，即，
则，所以，综上的取值范围为.
18．18.解：(I)
分
(II)由月日至月日的数据得
分
分
当时，，满足
当时，，满足得到的线性回归方程是可靠的. 分
19．解（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为平行四边形，于是因为所以
（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为取得中点，连接，由得由得到的距离为，故，所以四面体的体积为
20．解：（1），，．
（2），两点分别为，，由题意可设
那么线段中点为，设是所求轨迹上的任意点
由于，即，所以．又因为，消参得轨迹方程为.该曲线为抛物线（除掉原点）．
21．解：（1）时，，故，
在上单调递增．
（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，
则，解得，，即．
∴实数的取值范围是．
不妨设，则，
两式相加得：，两式相减得：，
，故，
要证，只需证，即证，
令，故只需证在恒成立即可．令，
则，∴在上单调递增，
，即在恒成立．．
22．（1）曲线化为，再化为直角坐标方程为，化为标准方程为，直线的参数方程为（为参数）．
（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，
，则，，所以．
23．（1）不等式等价于不等式组或或，
所以不等式的解集为；
（2）证明：因为，
所以，
因为为正实数，所以由基本不等式（当且仅当时等号成立），
同理，所以，
所以，
所以.
