天津市红桥区2020届高三模拟考试数学试题

高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式  ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．锥体的体积公式   ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．球的体积公式     ，其中表示球的半径．                             第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共9题，每小题5分，共45分。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则(A)               (B)   (C)            (D) （2）若数列是等比数列，其前项和为，且，则公比(A)                         (B)    (C) 或            (D) 或 （3）已知，，，则(A)              (B)      (C)                  (D) （4）设，，则是的(A) 充分而不必要条件            (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件                    (D) 既不充分也不必要条件（5）若直线被圆所截的弦长为，则实数的值为    (A) 或                     (B) 或    (C) 或                       (D) 或 （6）已知正方体的体积是，则这个正方体的外接球的体积是(A)                   (B) (C)                  (D) （7）将函数的图像沿轴向右平移个单位长度，所得函数的图像关于轴对称，则的最小值是(A)                        (B)                            (C)                         (D) （8）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为(A)                  (B)      (C)                      (D) （9）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是(A)                  (B)      (C)                      (D)  二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（10）若为虚单位，则复数.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）： 武术社摄影社围棋社高一高二学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果武术社被抽出人，则这三个社团人数共有.（12）已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是.（13）已知实数满足条件：，且是与的等比中项，又是与的等差中项，则.（14）曲线在点处的切线方程为.（15）已知是单位向量，且，若向量满足，则的最大值是.  三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分分）在△中，内角所对的边分别是，已知，，.        （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.                          （17）（本小题满分分）设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立.（Ⅰ）若甲、乙两人各射击次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望.                             （18）（本小题满分分）四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，是线段上的动点，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，（1）求线段的长；（2）求二面角的余弦值.                 （19）（本小题满分分）已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
                （20）（本小题满分分）函数，.  （Ⅰ）讨论函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知和是函数的两个不同的零点，求的值并证明：.（其中为自然对数的底数）            高三数学  参考答案一、选择题   每题5分题号123456789答案ACAAABDDC二、填空题   每题5分10.    11. 150    12. 10    13.      14.    15. 三、解答题16.（本小题满分分）解：（Ⅰ）因为；..............................3分且，，，解得；.......................................................................6分（Ⅱ）因为,      所以，...............................................................7分,...........................................9分，..........................................11分又,...........13分所以......................................15分（本小题满分分）（Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件，......................................4分      .........................................................6分 （或设“两人都没命中目标”为事件，..........4分“至少有一人命中目标”为事件，..........6分）
（Ⅱ）的取值情况可能为0，1,2,3，

..........................................................10分
的分布列为  ξ0123P...............................................13分
以 。 ................................................15分18.（本小题满分分）（Ⅰ）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得,，，，,，。向量,向量，，，，....................................................2分即,,,..................................4分所以平面...................................................................5分 （Ⅱ）（1）设为平面的法向量，则即,不妨令，可得为平面的一个法向量，....................................7分向量于是有，............................................................................9分所以，得（舍）.............................10分，，线段的长为；.............................................................11分 （2）设为平面的法向量，,则即,不妨令，可得为平面的一个法向量，.........................12分又为平面的一个法向量，....................................................13分所以。..............................................................15分 19.（本小题满分分）（Ⅰ）由 题意可得，....................................3分得，，.............................................................5分椭圆；..........................................................6分（Ⅱ）设、,直线为...................................7分由,得，.....................................8分显然，由韦达定理有:,；...................10分因为、、共线，所以 ......................................................11分若..................................12分, ................................................................13分又，.........................................................................14分所以。.............................................................................15分 20.（本小题满分分）（Ⅰ）函数定义域为，......................................1分
则，.............................................................2分（1）当时，函数是上的增函数，无极值；..............4分（2）当时，则，所以的单调增区间是；............................................................5分单调减区间是；...........................................................6分在处取得极大值，无极小值；......................7分 （Ⅱ） 因为是函数的零点，则，得；............................8分所以；...........................................9分因为，............................................10分，....................................................11分所以，................................................12分由（Ⅰ）知，函数在区间上单调递减，...........13分所以函数在区间上有唯一零点，.........................14分因此成立..................15分