2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学二

2020年高考考前45天大冲刺卷

理 科 数 学（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，，则（    ）

A．  B．

C．或 D．或

2．已知是虚数单位，是的共轭复数，若，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边落在射线上，

则（    ）

A． B． C． D．

4．空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：

如图是某城市年月全月的指数变化统计图：

根据统计图判断，下列结论正确的是（    ）

A．整体上看，这个月的空气质量越来越差

B．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量

C．从数据看，前半月的方差大于后半月的方差

D．从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

5．正项等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

9．设函数为函数的导函数，则函数的图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．

C．  D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，

则        ．

14．已知实数，满足不等式组，则的最小值为       ．

15．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为        ．

16．已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是        ．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在数列中，，，前项之和为．

（1）若是等差数列，且，求的值；

（2）对任意的有：，且，试证明：数列是等比数列．

18．（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位名职工进行一次业务技能测试，测试项目共项，现从中随机抽取了名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“”表示测试合格，“”表示测试不合格）．

表1：

规定：每项测试合格得分，不合格得分．

（1）以抽取的这名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．

①设抽取的这名职工中，每名职工测试合格的项数为，根据上面的测试结果统计表，列出的分布列，并估计这名职工的平均得分；

②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有名职工，求这名职工中至少有人得分不少于分的概率；

（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第项测试难度，为第项合格的人数，为参加测试的总人数，已知抽取的这名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：

表2：

定义统计量，其中为第项的实测难度，为第项的预测难度（），规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：

表3：

判断本次测试的难度预估是否合理．

19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，求的面积的最大值及此时内切圆半径．

21．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：时，．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若曲线与交于，两点，，的中点为，点，求的值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围．

答案与解析

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】，全集，

则或．

2．【答案】A

【解析】由题意可得，则，

据此可得，的虚部为．

3．【答案】D

【解析】在的终边上取点，则，

根据三角形函数的定义得，故选D．

4．【答案】C

【解析】从整体上看，这个月数据越来越低，故空气质量越来越好，故A，B不正确；

从数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，

因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；

从数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，

因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．

5．【答案】C

【解析】设正项等比数列的公比为，则，

依题意可得，解得，，

所以，故选C．

6．【答案】A

【解析】是偶函数，在上单调递增，

∴，

∵，，∴，

∴，∴，故选A．

7．【答案】D

【解析】由题意，

又，∴，∴，，

∵，∴，∴，故选D．

8．【答案】D

【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱切掉一个三棱锥，

如下图所示：

则为中点，

，，

所求几何体体积，故选D．

9．【答案】B

【解析】，可得是奇函数，排除C，

当时，，排除A，D．

10．【答案】A

【解析】设

在上是增函数，

易得是偶函数，故选A．

11．【答案】A

【解析】由题意可设，，，

令，代入椭圆方程可得，可得，

设直线的方程为，

令，可得，所以，

令，得，所以，

设的中点为，则可得，

由，，三点共线，可得，所以，

即，即，所以离心率，故选A．

12．【答案】D

【解析】∵偶函数满足，∴，

∴的周期为且的图象关于直线对称，

∵上含有个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，

∴当关于的不等式在上有个整数解，

当时，，

由，得；由，得，

∴当函数在上单调递增，在上单调递减，

∵，，

∴当时，，

∴当时，在上有个整数解，不符合题意；

∴，由，可得或，

显然在上无整数解，

故而在上有个整数解，分别为，，，

所以，，，

所以，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】，

与的夹角等于与的夹角，∴，

∴，∴．

14．【答案】

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的阴影部分，

由，解得，

设，将直线进行平移，当经过点时，

目标函数达到最小值，∴．

15．【答案】

【解析】设焦点为，则，

那么的最小值为，故答案为．

16．【答案】

【解析】如图，

设的中心为，球的半径为，

连接，，，，则，，

在中，，解得，

∵，∴，

在中，，

∴，

过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，最小面积为；

当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为，

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】（1）设的公差为，则由已知可得，解得，．

（2）由，得数列的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，

由已知，得，解得，

∴，，

∴，即是首项为，公比为的等比数列．

18．【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为16；②；（2）是合理的．

【解析】（1）①根据上面的测试结果统计表，得的分布列为：

所以的数学期望，

所以估计这名职工的平均得分为．

②“得分不小于分”即“”，

由①知，

设该科室名职工中得分不小于分的人数为，则，

所以，

即这名职工中至少有人得分不小于分的概率为．

（2）由题意知

，

所以该次测试的难度预估是合理的．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：取中点，连结，，，

因为底面为菱形，，所以，

因为为的中点，所以．

在中，，为的中点，所以．

设，则，，

因为，所以．

在中，，为的中点，所以．

在和中，因为，，，

所以，所以，所以．

因为，平面，平面，

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）因为，，，

平面，平面，

所以平面．所以．

由（1）得，，所以，，所在的直线两两互相垂直，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则，令，则，，

所以；

设平面的法向量为，

则，令，则，，

所以，

设二面角为，由于为锐角，所以，

所以二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）；（2）当的面积最大时，，得内切圆半径．

【解析】（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点，

∵，即，

∴，所以，

又，解得，

∴椭圆方程为．

（2）由（1）知，设直线方程为，，，

则，消去得，

∴，

∴

，

令，则，∴，

令，，

当时，，在上单调递增，

∴，当时取等号，

即当时，的面积最大值为．

过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为．

又（为三角形内切圆半径），

∴当的面积最大时，，得内切圆半径．

21．【答案】（1）的单调增区间为，无减区间；（2）证明见解析．

【解析】（1）由，得，

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，所以，即，．

令，则．

所以时，，单调递减；

时，，单调递增，

所以，所以，单调递增，

即的单调增区间为，无减区间．

（2）由（1）知，，

所以在处的切线为，即，

令，则，

且，，

时，，单调递减；时，，单调递增，

因为，所以，

因为，所以存在，

使时，，单调递增；时，，单调递减；

时，，单调递增．

又，所以时，，即，

所以．

令，则，

所以时，，单调递增；时，，单调递减，

所以，即，

因为，所以，所以时，，

即时，．

22．【答案】（1），；（2）3．

【解析】（1）曲线的普通方程为，

由，，得曲线的直角坐标方程为．

（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为．

点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），

代入化简得，所以，，

因为点对应的参数为，

所以．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

即或或，

解得或，不等式的解集为．

（2）原命题等价于在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

即，实数的取值范围为．