山西省吕梁市2020届高三第一次模拟考试 数学（理）
展开吕梁市2019－2020学年高三年级第一次模拟考试
(理科)数学试题
(本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合A＝{x|－5≤x<2}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝
A.{x|－5≤x≤－2} B.{x|－5≤x<2} C.{x|－5≤x≤2} D.{x|－2≤x<2}
2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是
A.f(x)＝x－ B.f(x)＝ex－e－x C.f(x)＝xsinx D.f(x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)
3.x2>y2的充分不必要条件是
A.x>y B.y<x<0 C.|y|<|x| D.|y|<x
4.已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S9＝18，am＝2，则m＝
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知向量，满足||＝1，＝(1，1)，·＝1，则|2－|＝
A. B. C. D.1
6.已知函数y＝f(x)的部分图象如下，试判断函数解析式为
A.f(x)＝xsinx B.f(x)＝x2＋cosx C.f(x)＝xsinx＋cosx D.f(x)＝(ex－e－x)sinx＋1
7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18，则＝
A. B.－1 C.2 D.4
8.已知a＝log25，b＝0.5－2，，则
A.b<c<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b
9.已知直线l：mx＋ny－2＝0与圆x2＋y2＝4相交的弦长为2，则m＋n的取值范围为
A.[－2，2] B.[－，] C.[－2，2] D.[－4，4]
10.若直线l：y＝kx－2与函数f(x)＝的图象恰好有2个不同的公共点，则k的取值范围为
A.(－∞，0) B.(2，＋∞)∪{2－4}
C.(－∞，0)∪[2，＋∞) D.(－∞，0)∪(2，＋∞)∪{2－4}
11.如图四面体A－BCD中，AD＝BC＝2，AD⊥BC，截面四边形EFGH满足EF//BC，FG//AD，则下列结论正确的个数为
①四边形EFGH的周长为定值 ②四边形EFGH的面积为定值
③四边形EFGH为矩形 ④四边形EFGH的面积有最大值1
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1(n≥2)，数列{an}的前99项和S99＝
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝－3x＋y＋2的最小值为____________。
14.函数f(x)＝alnx＋bx2在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则a＝________，b＝________。
15.已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝PB＝PC，AB＝2，BC＝，AC＝3，E，F分别为AC，PB的中点，EF＝，则球O的体积为_____________。
16.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ<)，则如下结论正确的序号是___________。
①当ω＝2时，若f(x)图象的对称轴为x＝，则φ＝－；
②当ω＝2时，若f(x)的图象向右平移单位长度后关于原点对称，则f()＝1；
③当φ＝时，若f(x)的图象在区间[0，]内有且仅有一条对称轴，则ω的取值范围为[1，5)；
④当φ＝－时，若集合{x∈(0，π)|f(x)＝}含有2020个元素，则ω的取值范围为(2019，2020.5)。
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos2C＋2cosC＝。
(1)求C的值；
(2)若b＝2，c＝，求△ABC的面积。
18.(本小题满分12分)
如图三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，BC＝，AC1＝1，C1A⊥平面ABC。
(1)证明：AB⊥平面ACC1A1；
(2)求AB1与平面BCC1所成的角的正弦值。
19.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝1，(n＋1)an＋1＝nan＋n＋1。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)Sn为数列{}的前n项和，求证：≤Sn<2。
20.(本小题满分12分)
如图正方形ABCD纸片的边长为5，中心为O，正方形EFGH的中心也是O，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH分别是以EH，EF，FG，GH为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以EH，EF，FG，GH为折痕折起△AEH，△BEF，△CFG，△DGH，使得A、B、C、D重合于点S，得到四棱锥S－EFGH，设正方形EFGH的边长为x。
(1)用x表示四棱锥S－EFGH的体积V(x)；
(2)当V(x)最大时，求四棱锥S－EFGH的表面积。
21.(本小题满分12分)
已知两定点M(1，0)，N(4，0)，点P满足|PN|＝2|PM|。
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)若D(0，－2)，直线l与轨迹C交于A，B两点，DA，DB的斜率之和为2，直线l是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由。
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax－xlnx，(a∈R)的最大值为1。
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)≤e－2x＋2x2。
