陕西省铜川市2020届高三模拟数学（文）试题

铜川市2020年高三年级高考模拟试题

文科数学

注意事项：

1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔将答案涂在答题卡上.第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm加黑色签字笔将答案答在答题纸上，考试结束后，只收答题纸.

2.答第Ⅰ卷、第Ⅱ卷时，先将答题纸首有关项目填写清楚.

3.全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.设集合， ，若，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

因为，所以，因为集合， ，

所以.故选D.

2.已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=(　　 )

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

由题意得，所以．选D．

3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=（　　）

A. 1：2 B. 2：3 C. 3：4 D. 1：3

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是性质，即若{an}等比数列，则Sm，S2m-m，S3m-2m，…也成等比数列，则由S6：S3=1：2，则S6-S3：S3=-1：2，则S9-S6：S6-S3=-1：2，由此不难求出S9：S3的值．

【详解】解：∵{an}等比数列

则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列

由S6：S3=1：2

令S3=x，则S6=x, ,

则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2

则S9-S6=x

则S9=

则S9：S3=：x=3：4

故选C．

【点睛】本题主要考察等差数列与等比数列的重要性质，

若{an}等差数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等差数列；

若{an}等比数列，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也成等比数列（其中Sm不为零）；

4.已知，“函数有零点”是“函数在上是减函数”的（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此必要不充分条件，故选B．

考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.

5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；

②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；

③y与x正相关且=5.437x+8.493；

④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．

其中一定不正确的结论的序号是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意得，当回归系数时，与正相关；当回归系数时，与负相关，所以只有①④是正确的，故选A.

考点：回归系数的意义.

6.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中正确的是(    )

A. ，，且，则

B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则

C. 若，，则

D. 若，，则

【答案】D

【解析】

分析】

根据线面垂直的判定定理判断是否正确；根据三点是否在平面的同侧来判断选项是否正确；根据直线与平面位置关系，来判断是否正确；根据平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，来判断是否正确.

【详解】对于选项，若时，与不一定垂直，

所以错误；

对于选项，若三点不在平面的同侧，则与相交，

所以错误；

对于选项，，有可能，

所以错误；

对于选项，根据平行线中的一条垂直于一个平面，

另一条也垂直于这个平面，所以正确.

故选:D.

【点睛】本题考查命题真假判断，考查线面平行垂直、面面平行的判定，属于基础题.

7.在区间上随机取一个数，则直线与圆有两个不同公共点的概率为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

圆的圆心为，圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得在区间上随机取一个数，使直线与圆有公共点的概率为，故选D.

8.已知其中，，.则的单调递减区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换，得到的解析式，再利用余弦函数的性质求解.

【详解】因为，，，

所以，

令，

解得，

所以的单调递减区间是.

故选：C

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

9.函数的图像的大致形状是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．

【详解】且，根据指数函数的图象和性质，

时，函数为减函数，时，函数为增函数，

故选D．

【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．

10.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的虚轴长是（    ）

A.  B.  C. 3 D. 6

【答案】B

【解析】

抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，因此，，虚轴为，故选B．

11.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：分析可知球心在的中点．因为，，所以．

所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．

考点：三棱锥的外接球．

12.已知函数（且），若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

关于轴对称函数为，时，与的图象有且仅有一个交点，函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，符合题意，当时，要使与的图象有且仅有一个交点，则，综上所述，的取值范围是,，故选D.

【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.如图所示，在梯形ABCD中，，，，，点E为AB的中点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，求得的坐标，然后利用数量积定义求解.

【详解】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：

则，

，

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14.曲线上一动点处的切线斜率的最小值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据曲线，求导得到，再利用基本不等式求得导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值.

【详解】因为曲线

所以

，当且仅当，即时，取等号.

所以在点处的切线斜率的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查导数的几何意义及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15.已知两圆和相交于，两个不同的点，且直线与直线垂直，则实数__________．

【答案】3

【解析】

由题意直线与连心线平行，即，．

16.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒　　　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.

【答案】4

【解析】

设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·,

∴an=a1qn-1=()n,∴()n<,得n≥4.

【方法技巧】建模解数列问题

对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17.在中，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）直接利用正弦定理可求的值；（Ⅱ）由余弦定理求得，再利用同角三角函数的关系求出，由二倍角公式求出，，根据两角差的正弦公式可求的值．

【详解】（Ⅰ）在中，根据正弦定理，，

于是

（Ⅱ）在中，根据余弦定理，得

于是，

从而

．

【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

18.去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A,B,C,D四个等级，等级评定标准如下表所示.

（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；

（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率.

【答案】（1）众数是，平均数是；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两侧均为0.5求解中位数即可；

（2）列出所有可能事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解概率值即可.

【详解】（1）最高小矩形的底边中点为75，估计得分的众数为75分．

直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的面积为

1-0.28-0.16-0.08=0.48.

所以，

故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为75.4.

（2）等级的频数为，记这两家分别为等级的频数为，记这四家分别为，从这6家连锁店中任选2家，共有

，共有15种选法.

其中至少选1家等级的选法有 共9种，则，

故至少选一家等级的概率为.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.如图，为边长为的正三角形，，且平面，

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的高.

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

试题分析：（1）取边的中点，的中点为，四边形为平行四边形，由平面可知，平面，可证．（2）由 和等体积法可求角．

试题解析：(1)如下图所示：取边的中点，的中点为，连接，，，由题意可知，是的中位线

所以且，即四边形为平行四边形，

所以

由平面可知，平面，又面，

故平面平面

（2）过做，垂足为，因为平面，

所以平面，且

所以

所以

因为，，所以，又

所以

设所求的高为，则由等体积法得

所以

【点睛】

面面垂直普通一般通过证明线面垂直来证明，

求点到面的距离，常用的方法有①等面积、等体积法②距离转化，常用平行转化和相似转化．本题是利用了等体积法求点到面的距离．

20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线平行于，且与椭圆交于两个不同的点.若为钝角，求直线在轴上的截距的取位范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意得解方程即可得椭圆方程；

（2）由直线平行于，得直线的斜率，为钝角等价于，直线与椭圆联立，利用韦达定理即可求范围.

试题解析：

（1）依题意有

解得

故椭圆的方程为.

（2）由直线平行于，得直线的斜率，

又在轴上的截距为，所以的方程为.

由得.

因为直线与椭圆交于两个不同的点，所以，

解得.   

设，

又为钝角等价于且，

则

，

将代入上式，

化简整理得，即，

故的取值范围是.